Kezdőlap


Feladat:	3190. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám Gábor
Füzet:	1999/február, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/október: 3190. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy $m$ tömegű, $l$ hosszúságú, homogén tömegeloszlású rúd tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontjára vonatkoztatva $Θ_{tkp} = \frac{1}{12} m l^{2}$ , a tömegközépponttól $x$ távolságú pontjára pedig a Steiner-tétel szerint $Θ (x) = Θ_{tkp} + m x^{2}$ .
A fizikai inga lengésidejének ismert képlete szerint a kérdéses pontban felfüggesztett rúd lengésideje kis kitérések esetében

\begin{matrix} T (x) = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ (x)}{m g x}} . \end{matrix}

Ennek a függvénynek keressük a minimumát, vagy ami ezzel egyenértékű kérdés, az

\begin{matrix} f (x) = \frac{T {(x)}^{2} g}{4 π^{2}} = \frac{l^{2}}{12 x} + x \end{matrix}

függvény legkisebb értékét a

0 < x \leq l / 2

intervallumon? Alkalmazzuk a számtani és mértani közepekre vonatkozó

\frac{1}{2} (x + y) \geq \sqrt[]{x y}

egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{T^{2} g}{4 π^{2}} \geq 2 \sqrt[]{x \cdot \frac{l^{2}}{12 x}} = \frac{l}{\sqrt[]{3}}, azaz T \geq 2 π \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{3} l}{3 g}}, \end{matrix}

és az egyenlőség akkor áll fenn, ha

l^{2} / (12 x) = x

, tehát

x = l / \sqrt[]{12}

Ádám Gábor (Tata, Eötvös J. Gimn., 9. o.t.)