Kezdőlap


Feladat:	3188. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ballók István , Börzsönyi Ádám
Füzet:	1999/február, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Newton-féle gravitációs erő, Kisbolygók, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/október: 3188. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első megfigyelés arra utal, hogy a hátizsák tömege kb. háromszorosa a kis herceg tömegének, feltéve, hogy a felugrás során végzett munka hátizsákkal és anélkül nagyjából ugyanakkora, s nem teszünk különbséget a súlypont emelkedése és az ugrás magassága között. Ezen feltevések jogossága megkérdőjelezhető, annyit azonban mindenképpen állíthatunk, hogy a hátizsák tömege és a kis herceg tömege azonos nagyságrendbe esik.
A második megfigyelésből adódó $k$ szám azt adja meg, hogy a kisbolygó tömege hányszor nagyobb, mint a kis herceg és a hátizsák együttes tömege. Ha $k ≫ 1$ , akkor az eldobott hátizsák mozgását lényegében csak a kisbolygó gravitációs tere határozza meg, s a kisbolygó tömegközéppontjának elmozdulásától, valamint a kisbolygó elfordulásától eltekinthetünk (vagyis a kisbolygót rögzítettnek képzelhetjük). Ilyenkor az $M$ tömegű, $R$ sugarú kisbolygó gravitációs vonzóerejével felírt mozgásegyenlet a következő lesz:

\begin{matrix} f \frac{M m}{R^{2}} = m \frac{v^{2}}{R}, \end{matrix}

ahol

v = 2 π R / t

m

tömegű hátizsák egyenletes körmozgásának kerületi sebessége. (Feltettük, hogy a hátizsák a kisbolygó felszínéhez közel kering.) A mozgásegyenletből kiolvasható, hogy a kisbolygó (átlagos) sűrűsége

\begin{matrix} ϱ = \frac{M}{\frac{4}{3} R^{3} π} = \frac{3 π}{f t^{2}} . \end{matrix}

Amennyiben

k

nem lenne sokkal nagyobb 1-nél, vagyis a bolygó tömege összemérhető lenne a hátizsák és a kis herceg tömegével, akkor három dolgot is figyelembe kellene vegyen a kis herceg:
1. A zsák nem a kisbolygó középpontja, hanem a rendszer tömegközéppontja körül kering.
2. A kisbolygó a hátizsák eldobásakor nemcsak visszalökődik, de forogni is kezd, emiatt a hátizsáknak az inerciarendszerből nézve nem kell egy teljes fordulatot megtennie, hiszen a kisbolygó (s rajta a kis herceg) vele ellentétesen forog.
3. A hátizsák mozgását a kisbolygó gravitációs erőtere mellett számottevően befolyásolja a kis herceg saját gravitációs vonzása is. Tekintettel arra, hogy ez utóbbinak nemcsak az iránya, de a nagysága is állandóan változik, a mozgás nagyon bonyolulttá válik.
A kis herceg a fenti három zavaró tényező ellenére ki tudja számítani a bolygó sűrűségét, ami arra utal, hogy a korábban feltételezett

k ≫ 1

teljesül.

(G. P.)