Feladat:	3084. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pethö Balázs ,  Váry Mátyás
Füzet:	1999/február, 111 - 112. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb síkmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/szeptember: 3084. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A toronyóra mutatója délben ${90}^{\circ }$-os szöget zár be a vízszintessel, és ez a szög percenként $6^{\circ }$-kal csökken. A bogár által megtett út percenként $\frac{1}{15}$ értékkel nő, ha a távolság egységének a nagymutató hosszát választjuk. Eszerint az 1. perc végén a bogár $\begin{array}{c}{\displaystyle d\left(1\right)=\frac{1}{15}\text{sin}{84}^{\circ }=0\mathrm{,}\mathrm{066,}}\end{array}$ magasságban lesz, s hasonlóan $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle d\left(2\right)=\frac{2}{15}\text{sin}{78}^{\circ }=0\mathrm{,}\mathrm{130,}d\left(3\right)=\frac{3}{15}\text{sin}{72}^{\circ }=0\mathrm{,}\mathrm{190,}}\\ \hfill {\displaystyle d\left(4\right)=\frac{4}{15}\text{sin}{66}^{\circ }=0\mathrm{,}\mathrm{244,}d\left(5\right)=\frac{5}{15}\text{sin}{60}^{\circ }=0\mathrm{,}\mathrm{289,}}\\ \hfill {\displaystyle d\left(6\right)=\frac{6}{15}\text{sin}{54}^{\circ }=0\mathrm{,}\mathrm{324,}d\left(7\right)=\frac{7}{15}\text{sin}{48}^{\circ }=0\mathrm{,}\mathrm{347,}}\\ \hfill {\displaystyle d\left(8\right)=\frac{8}{15}\text{sin}{42}^{\circ }=0\mathrm{,}\mathrm{357,}d\left(9\right)=\frac{9}{15}\text{sin}{36}^{\circ }=0\mathrm{,}\mathrm{353,}}\end{array}}}\end{array}$ s ettől kezdve csökken a bogár magassága. Látható, hogy a bogár a 8. és a 9. perc vége között volt a legmagasabban. Ezt az időtartamot tovább osztva megkaphatjuk, hogy a kérdéses szélsőérték kb. 8 perc és 13 másodpercnél következik be.  Pethő Balázs (Pécs, JPTE. Babits M. Gimn., 9. o.t.)   II. megoldás. A bogár eleinte emelkedni kezd, majd folyamatosan csökken a függőleges irányú sebessége, a legmagasabb pontban pedig a függőleges irányú sebessége (a toronyhoz viszonyítva) éppen nullává válik. Ez a sebesség a nagymutató megfelelő pontjának sebességéből és a bogárnak a nagymutatóhoz viszonyított sebességéből számolható ki. Jelöljük a bogárnak a mutatóhoz viszonyított sebességét $v$-vel, a mutató szögsebességét $\omega$-val, a szögelfordulását pedig $\alpha$-val. Déli 12 óra után $t$ idővel $\alpha =\omega t$, és a bogár $r=vt$ távol lesz a forgástengelytől. A bogár eredő függőleges sebessége $\begin{array}{c}{\displaystyle v_f=v\text{cos}\alpha -r\omega \text{sin}\alpha =v\left(\text{cos}\alpha -\alpha \text{sin}\alpha \right)\mathrm{.}}\end{array}$ (Kihasználtuk, hogy $r\omega /v=\omega t=\alpha$.) Ez a kifejezés akkor válik nullává, amikor $\alpha =\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ctg</span>}\alpha$, amely egyenlet közelítő megoldása $\alpha \approx 0\mathrm{,}86$ radián, ami kb. $49\mathrm{,}{3}^{\circ }$-nak, illetve $t=8$perc és 13 másodpercnek felel meg.  Váry Mátyás (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., 12. o.t.)   Megjegyzés. Érdekes, hogy a kérdéses időpont nem függ a bogár sebességétől, feltéve, hogy addig (8 perc és 13 másodperc alatt) még nem ért el a bogár a mutató végéig.) Ha a bogár ennél gyorsabban mászna, akkor lenne legmagasabban, amikor a mutató végpontjához érkezne.