Kezdőlap


Feladat:	3179. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Tímea
Füzet:	1999/január, 60 - 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rögzített tengely körüli forgás (Merev testek mozgásegyenletei), Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/szeptember: 3179. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rúd és a golyó által alkotott rendszerre a függőleges nehézségi erő, a vízszintes irányú elektrosztatikus mező, valamint a rögzített tengelynél fellépő ismeretlen irányú és nagyságú kényszererő hat. Ez utóbbinak a tengelyre vonatkoztatott forgatónyomatéka nulla, emiatt a rendszer mozgását legkönnyebben a forgómozgás alapegyenletéből határozhatjuk meg.
$a)$ Kezdetben a rendszer szögsebessége nulla, így a golyó gyorsulása érintő irányú. A $β_{0}$ kezdeti szöggyorsulás a

\begin{matrix} \sum M = Θ_{rendszer} β_{0}, Θ_{rendszer} = Θ_{pálca} + Θ_{golyó} \end{matrix}

összefüggésekből számítható:

\begin{matrix} m g \frac{L}{2} + m g L = (\frac{1}{3} m L^{2} + m L^{2}) β_{0}, \end{matrix}

azaz

β_{0} = \frac{9}{8} (g / L)

. A golyó (függőlegesen lefelé irányuló) gyorsulása

a_{0} = L β_{0} = \frac{9}{8} g .

b)

A pálca függőleges helyzetében a golyó gyorsulásvektora a rendszer szöggyorsulásából származó (és ebben a helyzetben éppen vízszintes) tangenciális gyorsulással, valamint a körmozgásból adódó (az adott helyzetben éppen függőlegesen felfelé irányuló) centripetális gyorsulással adható meg. A gyorsulás-komponensek számszerű meghatározásakor 2 esetet kell megkülönböztetnünk:

(i)

amikor az elektrosztatikus mező segíti a pálca függőleges helyzetbe kerülését, illetve

(i i)

amikor gátolja azt. (A golyó töltésének előjele és az elektromos térerősség iránya határozza meg, hogy melyik eset valósul meg.)

(i)

Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor az elektromos térerősség a mozgás kezdetén (egészen a függőleges helyzet eléréséig) növeli a rendszer szöggyorsulását. A munkatétel szerint

\begin{matrix} W_{gravitációs} + W_{elektrosztatikus} = Δ E_{mozgási}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \begin{matrix} m g L + m g \frac{L}{2} + E Q L = \frac{1}{2} Θ_{rendszer} \cdot ω^{2}, \\ m g \frac{3 L}{2} + \frac{m g}{Q} Q L = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} m L^{2} \cdot ω^{2}, \end{matrix} \end{matrix}

ahonnan

ω^{2} = \frac{15}{4} (g / L)

, a pálca végpontjának centripetális gyorsulása pedig

\begin{matrix} a_{1} = L ω^{2} = \frac{15}{4} g . \end{matrix}

A tangenciális gyorsulást a forgómozgás alaptörvényéből számíthatjuk ki:

\begin{matrix} E Q L = \frac{4}{3} m L^{2} \cdot β, ahonnan β = \frac{3 g}{4 L}, \end{matrix}

a golyó vízszintes gyorsulása pedig (a pillanatnyi sebességgel egyező irányban)

a_{2} = L β = \frac{3}{4} g .

A golyó gyorsulásának nagysága

\begin{matrix} a = \sqrt[]{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} = \frac{3 \sqrt[]{26}}{4} g \approx 3, 82 g \approx 37, 5 \frac{m}{s^{2}}, \end{matrix}

iránya pedig (előre és felfelé)

arc tg 5 \approx 79^{\circ}

-os szöget zár be a vízszintessel.

(i i)

Hasonló módon (az elektromos térerősség előjelének megváltoztatásával) számolható a másik eset is. A pálca szögsebessége függőleges helyzetben

ω = \sqrt[]{3 g / (4 L)},

a golyó centripetális gyorsulása tehát

a_{1} = L ω^{2} = \frac{3}{4} g .

A golyó tangenciális gyorsulása ugyanakkora nagyságú, mint az előző esetben (hiszen csak az elektromos térerősségnek van forgatónyomatéka), de az iránya a sebességgel ellentétes. A golyó gyorsulásának nagysága

\begin{matrix} a = \sqrt[]{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} = \frac{3 \sqrt[]{2}}{4} g \approx 1, 06 g \approx 10, 4 \frac{m}{s^{2}}, \end{matrix}

iránya pedig (hátra és felfelé)

45^{\circ}

-os szöget zár be a vízszintessel.

Balogh Tímea (Mezőkövesd, Szent László Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján