Kezdőlap


Feladat:	3128. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Tímea , Borsos Júlia , Hegedűs Ákos , Kocsis Bence , Madarász Ádám , Péterfalvi Csaba , Ravasz Mária- Magdolna , Robotka Zsolt , Sarlós Ferenc
Füzet:	1999/január, 57 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgásegyenletek gyorsuló koordináta-rendszerekben, Súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/január: 3128. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk fel egy olyan koordináta-rendszert, melynek $z$ tengelye párhuzamos a henger tengelyével. Hosszú idő után a test várhatóan $z$ irányú, állandó nagyságú sebességgel fog mozogni. A testnek a csőben elfoglalt állandósult helyzetét a henger keresztmetszetét mutató 1. ábrán látható $γ$ szöggel jellemezhetjük. Helyezzük el a koordináta-rendszer origóját a testnél, az $y$ tengelyt pedig a henger tengelyére illeszkedően. (Ezzel már az $x$ tengely irányát is megadtuk.)
A testre az $m g$ nagyságú $G$ gravitációs erő, valamint a henger által kifejtett $S$ súrlódási erő és $N$ nyomóerő hat. Bontsuk fel ezeket az erőket a választott koordináta-rendszernek megfelelő komponensekre. A gravitációs erő $z$ irányú összetevője $G_{z} = - m g sin α$ , az $x - y$ síkbeli vetülete tehát $m g cos α$ (2. ábra). Ez utóbbit a tovább bonthatjuk:

\begin{matrix} G_{x} = m g cos α \cdot sin γ, G_{y} = - m g cos α \cdot cos γ . \end{matrix}

A súrlódási erőnek nincs

y

irányú összetevője, a másik két komponensét jelöljük

S_{x}

-szel és

S_{z}

-vel. A nyomóerő tisztán

y

irányú, nagysága

N

.
A test állandó sebességgel (gyorsulásmentesen) mozog, a rá ható erők eredője nulla. Ezt az összefüggést komponensenként felírva:

\begin{matrix} G_{x} + S_{x} = 0, ahonnan S_{x} = - m g cos α \cdot sin γ, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} G_{y} + N = 0, innen N = m g cos α \cdot cos γ, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} G_{z} + S_{z} = 0, vagyis S_{z} = m g sin α . \end{matrix}

(3)

Tudjuk továbbá, hogy a test csúszása miatt fennáll a

\begin{matrix} \sqrt[]{S_{x}^{2} + S_{z}^{2}} = μ N \end{matrix}

(4)

összefüggés is. Innen (1), (2) és (3) felhasználásával a kérdéses

γ

szögre a

\begin{matrix} cos γ = \frac{1}{cos α \sqrt[]{1 + μ^{2}}} \end{matrix}

(5)

összefüggést kapjuk, ez határozza meg tehát a csőből kicsúszó test helyzetét.
Ha bevezetjük a

μ = tg ε

módon értelmezett

ε

súrlódási határszöget, (5) így is felírható:

\begin{matrix} cos γ = \frac{cos ε}{cos α} . \end{matrix}

(

5^{*}

)

Mivel a megadott feltételek szerint

ε > α

(5^{*})

jobb oldalán 1-nél kisebb szám áll, tehát az

γ

-ra megoldható.
A csúszó testre ható súrlódási erő iránya ellentétes a test és a felület relatív sebességével. Jelöljük

- v

-vel a test

z

tengely irányú sebességét. A hengerpalásthoz képest a test

x

irányban

r ω

sebességgel mozog. A súrlódási erő és a relatív sebesség párhuzamosságának feltétele:

\begin{matrix} \frac{v}{r ω} = \frac{S_{z}}{S_{x}}, \end{matrix}

ahonnan a korábbi eredmények felhasználásával a kicsúszás sebessége:

\begin{matrix} v = r ω \frac{m g sin α}{m g cos α sin γ} = r ω \frac{tg α}{\sqrt[]{1 - cos^{2} γ}} = r ω tg α \sqrt[]{\frac{1 + μ^{2}}{μ^{2} - tg^{2} α}} . \end{matrix}

Balogh Tímea (Mezőkövesd, Szent László Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján