Kezdőlap


Feladat:	3134. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gál Tamás
Füzet:	1998/december, 557 - 559. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Munka, Tömegközéppont mozgása, Egyenletes mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/február: 3134. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Rögzítsük a koordináta-rendszerünket az állandó $v_{0}$ sebességgel mozgó első kocsihoz. Ebben a rendszerben a hátsó kocsi sebessége a gumiszál kiegyenesedésének pillanatában $- v_{0}$ . Az egyre jobban megfeszülő gumiszál hatására a hátsó test rezgőmozgásba kezd, s egy félperiódusnyi idő, tehát

\begin{matrix} t_{1} = π \sqrt[]{\frac{m}{D}} = π \sqrt[]{\frac{2 kg}{18 N/m}} = 1,05 s \end{matrix}

alatt visszaérkezik eredeti helyére (vagyis az első kiskocsitól

d_{0} = 0,96 m

távolságra), a sebessége pedig ekkor

+ v_{0}

lesz.
A továbbiakban a meglazult gumiszál nem fejt ki erőt a hátsó kiskocsira, az tehát egyenletes mozgással,

t_{2} = d_{0} / v_{0} = 0,8 s

alatt utoléri az első kocsit. A gumiszál kiegyenesedésétől számítva eddig összesen

T = t_{1} + t_{2} = 1,85 s

idő telik el.

b)

Az első kocsi egyenletesen mozog, ennek az a feltétele, hogy a rá ható erők eredője minden pillanatban nulla legyen. A keresett

F

erő nagysága tehát a megfeszült gumiszál által kifejtett erővel egyezik meg:

\begin{matrix} F (t) = D \cdot A sin \sqrt[]{\frac{D}{m}} t . \end{matrix}

A rezgés amplitúdóját az

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} D A^{2}

feltételből határozhatjuk meg:

\begin{matrix} A = v_{0} \sqrt[]{\frac{m}{D}} = 0,4 m . \end{matrix}

Innen (SI-egységeket használva) az 1. ábrán látható függvénykapcsolatot kapjuk:

\begin{matrix} F (t) = v_{0} \sqrt[]{m D} \cdot sin \sqrt[]{\frac{D}{m}} t = 7,2 sin 3 t . \end{matrix}

c)

A folyamat során végzett munka (az asztalhoz rögzített koordináta-rendszerben) megegyezik a második kocsi mozgási energiájának megváltozásával:

\begin{matrix} W = \frac{1}{2} m {(2 v_{0})}^{2} = 5,76 J . \end{matrix}

d)

A mozgás teljes

T

ideje alatt az első kocsi

v_{0} T

, a hátsó pedig

v_{0} T + d_{0} = 3,18 m

utat tett meg.

Gál Tamás (Zalaegerszeg, Kölcsey F. Gimn., 11. évf.)

Megjegyzések. 1. A munkatételt bármely inerciarendszerben felírhatjuk. Az első kocsihoz rögzített koordináta-rendszerben például a hátsó test sebessége a gumiszál kezdeti laza állapotában

- v_{0}

, a végén pedig

+ v_{0}

, a mozgási energia tehát nem változik, s ezzel összhangban a munkavégzés is nulla. A munkatétel tehát itt is érvényes, de a munkavégzés nagysága (és a mozgási energiák nagysága is) függ attól, hogy melyik rendszerből írjuk le a jelenséget.
2. Tanulságos a folyamat ábrázolása az asztalhoz rögzített koordináta-rendszerben is (2. ábra). Itt az elmozdulás‐idő diagramon az első test egyenletes mozgásának egy egyenes, a hátsó test mozgásának pedig egy egyenesre ,,ráültetett'' fél szinuszgörbe és egy ahhoz simán illeszkedő egyenes felel meg.