Kezdőlap


Feladat:	3137. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hegedűs Ákos
Füzet:	1998/május, 314 - 315. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Centrális erők, Bohr-modell, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/február: 3137. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Bohr-féle kvantumfeltétel szerint az $r$ sugarú körpályán keringő $v$ sebességű részecske perdülete $ℏ = h / (2 π)$ egész számú többszöröse, vagyis

\begin{matrix} m v r = n ℏ (n = 1,2,3, ...) . \end{matrix}

Másrészt az

m

tömegű részecske mozgásegyenlete a klasszikus fizikában

\begin{matrix} \frac{m v^{2}}{r} = k r . \end{matrix}

Ezekből az egyenletekből kifejezhetjük a pályasugarakat:

\begin{matrix} r_{n} = \sqrt[]{\frac{n ℏ}{\sqrt[]{k m}}} = \sqrt[]{n} \cdot r_{1} . \end{matrix}

A részecske energiája az

\frac{1}{2} m v^{2}

mozgási energia és az

\frac{1}{2} k r^{2}

helyzeti energia összegeként áll elő. (A helyzeti energiát a megnyújtott rugó rugalmas energiájának mintájára írtuk fel, de kiszámíthatjuk az origóból

r

távolságra kimozdított testre ható átlagos

k r / 2

erő és az elmozdulás szorzataként is.) Az

n

-edik pályához tartozó energia tehát

\begin{matrix} E_{n} = \frac{1}{2} m v_{n}^{2} + \frac{1}{2} k r_{n}^{2} . \end{matrix}

A mozgásegyenlet és

r_{n}

fenti értékének felhasználásával az energia így írható:

\begin{matrix} E_{n} = n ℏ \sqrt[]{\frac{k}{m}} = n \cdot E_{1} . \end{matrix}

Hegedűs Ákos (Pécs, Ciszterci Nagy Lajos Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A helyzeti energiát a vonzócentrumban választottuk nullának, így minden más helyen pozitív értékű lesz. Sokan ‐ hibásan ‐ a helyzeti energiát az erőtörvényben szereplő negatív előjel miatt

- k r^{2} / 2

-nek adták meg, mások (az erő és az elmozdulás szorzatára hivatkozva) a

- k r^{2},

vagy esetleg a

+ k r^{2}

(ugyancsak hibás) alakot használták. Akik (a hibás képlettel számolva) a részecske energiájára negatív számokat kaptak, ezt az eredményt azzal hozták összefüggésbe, hogy a részecske ,,kötött állapotban'' van. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az összenergia negatív volta csak akkor jelent kötött állapotot, ha a helyzeti energiát a végtelenben választjuk nullának. Így járunk el pl. a Coulomb-potenciálnál, vagy a gravitációs helyzeti energia számításánál.)
A kitéréssel arányos ,,rugóerőnél'' a potenciális energia a nulla kitérítéshez viszonyítva mindig pozitív, de a ,,végtelen nagy'' távolságnak megfelelő helyzethez viszonyítva negatív, emiatt csak kötött állapotokat hozhat létre.
2. A Bohr-féle kvantumfeltétel a feladatban szereplő erőtörvény esetén (és még néhány esetben) véletlenül ugyanazt az eredményt adja, mint az (anyaghullámokra vonatkozó egyenletekkel megfogalmazott) ,,igazi kvantumelmélet''. Általában azonban a két leírásmód eltér egymástól, és a tapasztalat a hullámmechanikának ad igazat.
3. A feladatban szereplő erőtörvénnyel jól leírható a molekulák rezgése. Az ún. vibrációs színkép két lehetséges energiaszint közötti átmenetkor figyelhető meg. A kibocsátott, vagy elnyelt foton frekvenciája két szomszédos állapot közti átmenetkor

\begin{matrix} f = \frac{| E_{n} - E_{n \pm 1} |}{h} = \frac{1}{2 π} \sqrt[]{\frac{k}{m}}, \end{matrix}

ami megegyezik a megadott erőtörvény szerint mozgó részecske klasszikus keringési, illetve rezgési frekvenciájával.