Kezdőlap


Feladat:	3108. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Diriczi Krisztián , Felföldi Zsolt , Gulyás Nándor , Józsa István Gergö , Kormos Márton , Páles Csaba , Sarlós Ferenc , Terpai Tamás , Végh László
Füzet:	1998/május, 306 - 307. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elektromos fluxus (erővonalszám), Analógia alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/november: 3108. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számítsuk ki, mekkora az elektromos térerősség a töltésfelhő középétől $R$ távolságban! Ha a $r = R$ helyről sugárirányban elmozdulunk egy nagyon kicsit, mondjuk a $r = 1, 001 R$ távolságig, akkor a potenciál (zsebszámológéppel numerikusan könnyen meghatározható) megváltozása

\begin{matrix} Δ U = U (1, 001 R) - U (R) = 0, 729 006 U_{0} - 0, 729 329 U_{0} = - 0, 323 \cdot 10^{- 3} U_{0} . \end{matrix}

Ugyanez a mennyiség úgy is kiszámítható, mint a (kicsiny szakaszon állandónak tekinthető) elektromos térerősség

- 1

-szeresének és a

Δ r = 10^{- 3} R

elmozdulásnak a szorzata:

Δ U = - E \cdot Δ r

, ahonnan

\begin{matrix} E (R) = - \frac{Δ U}{Δ r} = \frac{0, 323 \cdot 10^{- 3} U_{0}}{10^{- 3} R} = 0, 323 \frac{U_{0}}{R} . \end{matrix}

r < R

térrészben található

Q (R)

töltés mennyiségét a Gauss-törvény segítségével határozhatjuk meg:

\begin{matrix} 4 π R^{2} \cdot E (R) = \frac{1}{ε_{0}} Q (R), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} Q (R) = ε_{0} 4 π R^{2} E (R) = 0, 323 4 π ε_{0} U_{0} R . \end{matrix}

(Ugyanerre az eredményre jutunk, ha a töltésfelhő gömbszimmetriájára hivatkozva kihasználjuk, hogy

E (R)

éppen akkora, mint egy

Q (R)

nagyságú ponttöltés elektromos térerőssége a töltéstől

R

távolságban.)
Az össztöltés nagysága a potenciálfüggvény aszimptotikus

(r \to \infty)

alakjából olvasható le. Az

U (r)

függvény képletében a szögletes zárójelben álló második (exponenciálisan csökkenő) tag az elsőhöz képest elhanyagolhatóan kicsivé válik, ha

r ≫ R

. A töltésfelhő középpontjától messze tehát a potenciál

U (r) \approx U_{0} R / r

alakú, ami a

\begin{matrix} Q_{összes} = 4 π ε_{0} U_{0} R \end{matrix}

össztöltésnek megfelelő potenciálfüggvény. (Nagy távolságból nézve tetszőleges töltésfelhő pontszerűnek tekinthető, az elektromos potenciálja tehát a Coulomb-potenciállal helyettesíthető.) A fenti két töltést összehasonlítva megállapíthatjuk, hogy a kérdéses töltésfelhő össztöltésének

32, 3

százaléka található az

r < R

térrészben.

Több megoldás alapján

Megjegyzések: 1. Differenciálszámítás segítségével zárt alakban is meghatározható a töltéseloszlás. Az elektromos térerősség a potenciálfüggvény negatív deriváltja:

\begin{matrix} E (r) = - \frac{d U (r)}{d r} = \frac{U_{0}}{R} [\frac{R^{2}}{r^{2}} - e^{- 2 r / R} (2 + 2 \frac{R}{r} + \frac{R^{2}}{r^{2}})] . \end{matrix}

r

sugarú gömbben található töltés mennyisége Gauss törvénye alapján:

\begin{matrix} \begin{matrix} Q (r) = 4 π ε_{0} r^{2} E (r) = 4 π ε_{0} U_{0} R [1 - e^{- 2 r / R} (1 + 2 \frac{r}{R} + 2 \frac{r^{2}}{R^{2}})] = \\ = Q_{összes} [1 - e^{- 2 r / R} (1 + 2 \frac{r}{R} + 2 \frac{r^{2}}{R^{2}})] . \end{matrix} \end{matrix}

Behelyettesítve

r = R

értékét megkapjuk a keresett töltésarányt:

\begin{matrix} \frac{Q (R)}{Q_{összes}} = 1 - \frac{5}{e^{2}} \approx 0, 323. \end{matrix}

2. A

Q (r)

függvény deriváltjából kiszámíthatjuk az egységnyi térfogatra jutó töltés mennyiségét, vagyis a

ϱ (r)

töltéssűrűséget is. Egy nagyon vékony,

Δ r

vastagságú gömbhéjban található

Δ Q

töltés egyrészt

Δ Q = \frac{d Q (r)}{d r} Δ r,

másrészt

Δ Q = 4 π r^{2} Δ r \cdot ϱ (r)

módon is kiszámítható. A két alakot összehasonlítva a töltéssűrűségre a

\begin{matrix} ϱ (r) = \frac{1}{4 π r^{2}} \frac{d Q (r)}{d r} = - \frac{4 U_{0} ε_{0}}{R^{2}} e^{- 2 r / R} = ϱ_{0} e^{- 2 r / R} \end{matrix}

kifejezés adódik. Ilyen (exponenciálisan csökkenő) sűrűségű töltéseloszlás a Természetben ténylegesen előfordul: a hidrogénatom alapállapotában az elektron (átlagos) töltéseloszlása a kvantumelmélet törvényei szerint éppen ilyen függvénnyel írható le.