Kezdőlap


Feladat:	3105. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1998/május, 303 - 304. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ellenállás-kapcsolások, Áram hőhatása (Joule-hő), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/november: 3105. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ A kapcsolás szimmetriája miatt az $R$ nagyságú ellenállásokon és a $3 R$ nagyságú ellenállásokon folyó áramok páronként megegyeznek. Az 1. ábrán látható jelölésekkel a Kirchhoff-féle huroktörvény és csomóponti törvény:

\begin{matrix} I_{2} \cdot 3 R - I_{r} \cdot r - I_{1} \cdot R = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} I_{1} = I_{r} + I_{2} illetve I = I_{1} + I_{2} . \end{matrix}

Ezekből

\begin{matrix} I_{1} = I_{2} \frac{3 R + 4 r}{4 R + 2 r}, \end{matrix}

továbbá az eredő ellenállás:

\begin{matrix} R_{e} = \frac{U_{0}}{I} = \frac{I_{2} \cdot 3 R + I_{1} \cdot R}{I_{1} + I_{2}} = R (2 - \frac{R}{2 R + r}) . \end{matrix}

A zárójelben álló kifejezés

r

monoton növekvő függvénye az

r \geq 0

tartományban, az eredő ellenállás legkisebb értéke tehát

r = 0

-nál (rövidzárnál):

R_{e}^{min} = \frac{3}{2} R;

a legnagyobb pedig

r = \infty

esetén (szakadásnál):

R_{e}^{max} = 2 R .

b)

A fenti egyenletekből kiszámítható, hogy a változtatható ellenálláson folyó áram:

\begin{matrix} I_{r} = \frac{U_{0}}{3 R + 2 r}, \end{matrix}

a rá eső teljesítmény pedig

\begin{matrix} P_{r} = U_{0}^{2} \frac{r}{{(3 R + 2 r)}^{2}} . \end{matrix}

r

nagyon kicsi, vagy ha nagyon nagy (

R

-hez viszonyítva), akkor

P_{r}

kicsivé válik,

R

-rel összemérhető esetekben pedig valahol maximummal rendelkezik (2. ábra). A maximum helye és értéke a grafikon elemzésével, differenciálszámítással, vagy ügyes algebrai átalakítással határozható meg; ez utóbbit mutatjuk be.
Képezzük a

P_{r}

mennyiség reciprokát, és határozzuk meg ennek legkisebb értékét!

\begin{matrix} \frac{1}{P_{r}} = \frac{1}{U_{0}^{2}} \cdot \frac{{(3 R + 2 r)}^{2}}{r} = \frac{1}{U_{0}^{2}} \cdot (4 r + \frac{9 R^{2}}{r} + 12 R) . \end{matrix}

r

ellenállás értékének változásakor csak a zárójelben álló kifejezés első két tagja változik, elegendő tehát ezek összegének minimumát meghatároznunk. Alkalmazva a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} 4 r + \frac{9 R^{2}}{r} \leq 2 \sqrt[]{4 r \cdot \frac{9 R^{2}}{r}} = 12 R, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} P_{r}^{max} = \frac{U_{0}^{2}}{24 R,} \end{matrix}

és a hozzá tartozó

r

érték:

r_{0} = 3 R / 2.

Több dolgozat alapján