Feladat:	3096. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Palásti Gábor ,  Terpai Tamás
Füzet:	1998/május, 300 - 302. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Adiabatikus állapotváltozás, Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/október: 3096. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A ferde hajítás képleteiből kiszámíthatjuk, hogy a labda sebessége közvetlenül az elrúgás után (a légellenállást elhanyagolva) $v_0=\sqrt[]{gs/\text{sin}{60}^{\circ }}\approx 24\text{m/s}$ ($s=50\text{m}$ a földetérés távolsága). A kapáslövésnél a játékos a felé érkező labdát még annak földetérése előtt rúgja el. A feladat szövege nem adta meg a játékoshoz érkező labda sebességét, de elfogadható feltevés az, hogy ez a sebesség sokkal kisebb, mint $v_0$. Tekintsük az egyszerűség kedvéért a labda kezdeti sebességét nullának. (Becslésünk nagyságrendileg helyes marad akkor is, ha ettől eltérő, de legfeljebb $v_0$ nagyságú sebességgel rendelkezett a labda már a rúgás előtt is.) A rúgás tulajdonképpen a játékos lábának és labdanak az ütközése. Tekintsük ezt az ütközést rugalmasnak, valamint tegyük fel, hogy a játékos lába sokkal nagyobb tömegű, mint a labda. A lábhoz rögzített vonatkoztatási rendszerben a labda $v_0/2$ sebességgel érkezik egy álló ,,falnak'', legnagyobb összenyomódásakor éppen megáll, majd az eredeti méretére kitágulva $-v_0/2$ sebességgel pattan vissza. Tételezzük fel, hogy a labda térfogatváltozása sokkal kisebb, mint az eredeti térfogata. (Ez nem túl jó feltevés, hiszen fénykép- és videofelvételeken megfigyelhető, hogy a labda az erős rúgásnál, fejelésnél az eredeti térfogatának mintegy harmadával is összenyomódhat. Emiatt a számított értékeket nem szabad pontos eredménynek tekinteni, hanem csak nagyságrendi becslésnek.) Ebben a közelítésben a labdaban levő levegő $p$ nyomása és a $p_t=p-p_0=5\cdot {10}^4$ Pa túlnyomás is változatlan marad. A gázon végzett munka $\Delta V$ összenyomódás esetén $p\Delta V$, így az energiamegmaradás tétele szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{1}{2}m{\left(\frac{v_0}{2}\right)}^2+p\Delta V-p_0\Delta V=0.}\end{array}$ (Az utolsó a $p_0$ nyomású légkör $\Delta V$ térfogattal történő kitágulásához tartozó belső energia csönést veszi figyelembe. A folyamat gyors, emiatt hőcserével nem kell számolnunk.) Innen a keresett térfogatváltozásra $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta V=\frac{m{v}_0^2}{8p_t}\approx 6\cdot {10}^{-4}{\text{m}}^3\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis kb. $0\mathrm{,}6$ liter adódik.  Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.)   II. megoldás. Modellezzük a rúgást (az I. megoldásban leírtakhoz hasonlóan) egy sík fallal való ütközéssel. Amikor a labda benyomódása $x$, a fallal $r$ sugarú körlapon érintkezik. Ha a labda sugara $R$, akkor az ábrán látható derékszögű háromszögből $R^2={\left(R-x\right)}^2+r^2$, azaz $r^2=\left(2R-x\right)x\approx 2Rx\mathrm{.}$ (Feltesszük, hogy $x\ll R$.) A labdában levő levegő $p_t$ túlnyomását állandónak tekintve a labdára $\begin{array}{c}{\displaystyle F\left(x\right)=p_t{r}^2\pi \approx 2R\pi p_t\cdot x=Dx}\end{array}$ erő hat. Ez az erő a labda benyomódásával arányos, tehát éppen akkora, mint amekkorát egy $D=2R\pi p_t$ rugóállandójú rugó fejtene ki $x$ összenyomódás hatására. A ,,rugó'' maximális $x_{\text{max}}$ összenyomódásakor a rugó rugalmas energiája éppen megegyezik a kezdetben $v_0/2$ sebességű labda mozgási energiájával, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{1}{2}m{\left(\frac{v_0}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}D{x}_{\text{max}}^2\mathrm{,}}\\ \multicolumn{2}{c}{\text{<br>ahonnan}}\\ \hfill {\displaystyle x_{\text{max}}=\frac{v_0}{2}\sqrt[]{\frac{m}{D}}=\frac{v_0}{2}\sqrt[]{\frac{m}{2R\pi p_t}}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ A legnagyobb összenyomódás pillanatában a térfogatváltozás egy gömbsüveg térfogata: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta V=\frac{\pi }{3}{x}_{\text{max}}^2\left(3R-x_{\text{max}}\right)\approx x_{\text{max}}^{2}R\pi \approx \frac{m{v}_0^2}{8p_t}\mathrm{,}}\end{array}$ összhangban az I. megoldás eredményével.  Palásti Gábor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján   Megjegyzés. Ha a lövés során egy viszonylag nagy sebességgel érkező labda majdnem álló lábbal ütközik, a térfogatváltozás a fentebb számított érték négyszerese lesz. Általában ha az érkező labda sebességének nagysága $v$, iránya pedig ellentétes az ütközés utáni sebességgel, akkor a térfogatváltozás $\Delta V=m{\left(v+v_0\right)}^2/\left(8p_t\right)\mathrm{.}$