Kezdőlap


Feladat:	3059. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kacsuk Zsófia , Kocsis Bence , Kormos Márton , Varró Gergely
Füzet:	1998/április, 242 - 243. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	A Tejút, extragalaxisok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/március: 3059. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a galaxist és a sötét burkot (halot) együtt a sűrűség szempontjából gömbszimmetrikusnak! Jelöljük a középponttól $r$ távolságban az átlagos tömegsűrűséget $ϱ$ -val, az $r$ sugarú gömbben levő teljes anyagmennyiség tömegét pedig $m (r)$ -rel.
A látható anyag megfigyelt $v$ kerületi sebessége szerint a gyorsulás középponttól $r$ távolságban $v^{2} / r$ . Ezt a gyorsulást az $r$ sugarú gömbben található $m (r)$ tömeg hozza létre, méghozzá éppen úgy, mintha pontszerű lenne; az $r$ -nél távolabbi (gömbszimmetrikus) anyageloszlás gravitációs hatása belül (az egyenletesen töltött fémgömbhéj elektromos teréhez hasonlóan) nulla. Fennáll tehát, hogy

\begin{matrix} γ \frac{m (r)}{r^{2}} = \frac{v^{2}}{r}, ahonnan m (r) = \frac{v^{2}}{γ} r . \end{matrix}

Tekintsünk egy

r

sugarú, kicsiny

Δ r

vastagságú gömbhéjat. Ennek tömege a fentiek szerint

\begin{matrix} Δ m = \frac{v^{2}}{γ} (r + Δ r) - \frac{v^{2}}{γ} r = \frac{v^{2}}{γ} Δ r, \end{matrix}

másrészt a sűrűséggel kifejezve:

\begin{matrix} Δ m = 4 π r^{2} Δ r \cdot ϱ (r) . \end{matrix}

A kétféle alakot összehasonlítva leolvasható, hogy a keresett sűrűségeloszlás

\begin{matrix} ϱ (r) = \frac{v^{2}}{4 π γ} \cdot \frac{1}{r^{2}} (\frac{2}{5} R < r < R) . \end{matrix}

A galaxis teljes tömege eszerint legalább akkora, mint

\begin{matrix} m (4 R) = \frac{4 R v^{2}}{γ} = \frac{4 \cdot 8 \cdot 10^{4} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600 \cdot 3 \cdot 10^{8} \cdot {(220 \cdot 10^{6})}^{2}}{6, 67 \cdot 10^{- 11}} = 2, 2 \cdot 10^{42} kg, \end{matrix}

ami kb.

10^{12}

naptömegnek felel meg.

Kacsuk Zsófia (Budaörs, Illyés Gy. Gimn., IV. o.t.) és

Kormos Márton (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A galaxis látható, korong alakú, spirálkaros részének anyageloszlása nyilvánvalóan nem gömbszimmetrikus, de a középponttól távol (pl. a

r > 2 R

tartományban) még ennek gravitációs tere is jól közelíthető a pontszerű test gravitációs mezőjével.

2. Ha a fenti számítás eredményét összevetjük a galaxisban látható csillagok becsült számának és az egyéb módszerekkel megállapítható átlagos csillagtömegnek a szorzatával (ez kb.

3 \cdot 10^{11}

naptömeget tesz ki), akkor megállapíthatjuk, hogy a galaxis anyagának számottevő része ,,hiányzik'', feltételezhetően a sötét burokban található.

3. A modell-számításban használt gömbszimmetrikus tömegeloszlás nem lehet időben állandó, stabil anyagelrendeződés, hiszen a halo anyagának is gyorsulnia kell a galaxis középpontja felé.