Feladat:	3050. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gulyás Zoltán ,  Kenyeres Péter ,  Szabó László
Füzet:	1998/március, 184 - 185. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Bernoulli-törvény, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/március: 3050. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A két szökőkút csak a folyadékok sűrűségében különbözik egymástól. A bor alkoholt is tartalmaz, emiatt a sűrűsége feltehetően kisebb, mint a vízé. (Ez a bor cukortartalma miatt nem teljesen magától értetődő, bizonyos boroknál nem is igaz.) Mindkét szökőkútnál ugyanakkora $v_0$ kezdősebességgel tör fel a folyadék, s mindkét folyadék lassulása $g=9\mathrm{,}81{\text{m/s}}^2$. Emiatt a szökőkutak folyadékoszlopának magassága a folyadék sűrűségétől függetlenül ugyanakkora, nevezetesen $h=v_0^2/\left(2g\right)\mathrm{.}$ Ha egy labdát helyezünk a folyadéksugárra, az azért nem esik le, mert a ,,nekiütköző'' folyadék által kifejtett erő éppen egyensúlyt tart a gravitációs erővel. (A ,,táncolás'', vagyis az oldalirányú mozgás és annak stabilitása igen bonyolult jelenség, azzal itt most nem foglalkozunk.) Egy kicsiny $\Delta t$ idő alatt az $A$ keresztmetszetű folyadéksugárban $Av\Delta t$ térfogatú, tehát $\varrho Av\Delta t$ tömegű és $\varrho A{v}^2\Delta t$ függőleges lendületű (impulzusú) folyadékdarabka ütközik neki a labdának. Ez a folyadékdarabka $F\Delta t$ erőlökés hatására elveszíti a függőleges lendületét, tahát a labda által kifejtett erő $F=\varrho A{v}^2$. Ugyanekkora nagyságú erővel hat a folyadéksugár a labdára, s ez az erő tart egyensúlyt az $m_{\text{labda}}g$ gravitációs erővel. A kétféle folyadékkal működő szökőkutat összehasonlítva látható, hogy (ugyanakkora $m_{\text{labda}}$ és $A$ esetén) a nagyobb sűrűségű folyadéknál a táncoló labda helyének közelében $v$ kisebb kell legyen. Mivel ez nagyobb magasságban teljesül (hiszen a feltörő folyadék sebessége egyre csökken), megállapíthatjuk, hogy a szokásos, vízzel működő szökőkúton táncolna magasabban a labda. (Természetesen a víznél sűrűbb borral ,,működő'' szökőkútnál éppen fordított lenne a helyzet.)  Gulyás Zoltán (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o.t.) és    Kenyeres Péter (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján   II. megoldás. Az örvénymentesen áramló, belső súrlódástól mentes folyadékokra (a szökőkút közelítőleg ilyennek tekinthető) felírhatjuk a Bernoulli-törvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{p}{\varrho }+\frac{v^2}{2}+gh=\text{állandó}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt a törvényt a folyadékoszlop legalsó és legfelső pontjára alkalmazva, valamint kihasználva, hogy vízsugárban a nyomás alul is és felül is ugyanakkora (nevezetesen a külső légnyomás), az emelkedési magasságra a folyadék sűrűségétől függetlenül $h=v_0^2/\left(2g\right)$ adódik. A folyadéksugár tetején táncoló labda ,,nyomja'' a folyadékoszlopot. (A nyomás a labda súlyának és a folyadéksugár keresztmetszetének hányadosa, tehát közvetlenül a labda alatt mindkét szökőkútnál a folyadék (átlagos) nyomása ugyanakkora $p_1$ érték kell legyen.) Alkalmazzuk ismét Bernoulli törvényét a folyadék legalsó és legfelső pontjára: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{p_0}{\varrho }+\frac{v_0^2}{2}=\frac{p_1}{\varrho }+gh\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle \text{ahonnan az emelkedési magasság:}h=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{p_1-p_0}{\varrho g}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Látható, hogy nagyobb sűrűségű folyadéknál $h$ nagyobb, tehát a vízsugáron magasabban táncol a labda, mint a víznél kisebb sűrűségű borral működő szökőkúton.  Szabó László (Temesvár, Bartók B. Líceum, II. o.t.) dolgozata alapján   Megjegyzés. A megoldás során a folyadék mozgását egymástól független, tömegpontként kezelhető vízcseppek mozgásának, függőleges hajításának tekintettük. Ez nem mindig jogos feltevés, hiszen a vízsugár cseppekre szakadása előtt egy kiszemelt folyadékdarabkára a körülötte levő többi folyadék nyomást, erőt fejt ki. A szökőkútnál azért tekinthetünk el ettől a hatástól, mert a vékony folyadéksugár belsejében mindenhol (jó közelítéssel) ugyanakkora a nyomás, mint a szélénél, ott pedig a külső légnyomással egyezik meg. (Ez a helyzet lényegesen különbözik a hidrosztatikus esettől, ahol a nyomás a magasság függvényében változik.) Az egyenletes nyomású folyadékban a folyadékrészecskéket ugyanakkora erővel nyomja a környező folyadék lentről és fentről, elölről és hárulról, jobbról és balról, emiatt a környezet hatásáról megfeledkezhetünk.  G. P.