Kezdőlap


Feladat:	3076. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kacsuk Zsófia , Mező Tamás
Füzet:	1998/január, 57 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1997/május: 3076. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rögzítsük a koordináta-rendszerünk kezdőpontját a két gyöngyszem tömegközéppontjához, az $x$ tengelyt pedig válasszuk a vízszintes szálakkal párhuzamosnak! Ez az inerciarendszer a ,,laboratóriumi rendszerhez'' képest $u_{0} = \frac{m}{m + M} v_{0}$ sebességgel halad, a gyöngyszemek kezdeti sebessége tehát innen nézve

\begin{matrix} u_{m} = v_{0} - u_{0} = \frac{M}{m + M} v_{0}, \end{matrix}

\begin{matrix} u_{M} = - u_{0} = - \frac{m}{m + M} v_{0} . \end{matrix}

A tömegközéppont az ,,ütközés'' során mindvégig mozdulatlan marad. Nem változik a rendszer teljes (mozgási + elektrosztatikus) energiája sem, minden pillanatban a kezdeti

\begin{matrix} E_{0} = \frac{1}{2} m u_{m}^{2} + \frac{1}{2} M u_{M}^{2} \end{matrix}

értékkel egyezik meg. (A gyöngyszemek kezdetben ,,elég messze'' vannak egymástól, ezért az elektrosztatikus kölcsönhatási energiájuk elhanyagolhatóan kicsi.)
A gyöngyszemek ütközése a kezdeti sebességük (és az ebből kiszámítható összenergiájuk) nagyságától függően háromféleképpen játszódhat le.
1. eset: Ha az egymást taszító gyöngyök elegendő energiával rendelkeznek ahhoz, hogy

d

távolságra megközelítsék egymást, s még ekkor is mozognak, akkor ismét eltávolodva egymástól elegendően hosszú idő múlva ugyanakkora sebességgel fognak mozogni, mint kezdetben. Ez a mozgás a laboratóriumi rendszerből nézve annak felel meg, hogy a

m

tömegű gyöngy

v_{0}

sebességgel mozog, a

M

tömegű pedig megáll. Ez az eset különböző töltésű, tehát egymást vonzó gyöngyszemeknél mindig bekövetkezik, azonos előjelű töltéseknél azonban csak akkor, ha

\begin{matrix} \frac{1}{2} m u_{m}^{2} + \frac{1}{2} M u_{M}^{2} > k \frac{q Q}{d}, \end{matrix}

vagyis ha

\begin{matrix} v_{0} > \sqrt[]{\frac{2 (m + M) k q Q}{m M d}} . \end{matrix}

2. eset: Ha (azonos előjelű töltéseknél) a fenti egyenlőtlenség nem teljesül, hanem

\begin{matrix} v_{0} < \sqrt[]{\frac{2 (m + M) k q Q}{m M d}}, \end{matrix}

akkor a gyöngyszemek még azelőtt megállnak, hogy egymást

d

távolságra megközelítették volna, majd visszafordulva a sebességük (elegendően hosszú idő múlva) a kezdeti érték

- 1

-szeresére,

- u_{m}

-re, illetve

- u_{M}

-re változik. Ezek a sebességek a laborrendszerben

\begin{matrix} v_{m}' = \frac{m - M}{m + M} v_{0}, illetve v_{M}' = \frac{2 m}{m + M} v_{0} \end{matrix}

értékeknek felelnek meg. Ezek a végsebességek a rugalmas ütközés ismert képleteiből, a mechanikai energia és az impulzus megmaradásának törvényéből is megkaphatók. (Természetesen az 1. esetben megadott végsebességek is összhangban állnak az energia- és az impulzusmegmaradás törvényével. A rugalmas ütközések szokásos tárgyalásánál mégsem vesszük figyelembe ezt a ,,megoldást'', hiszen az csupán annak felel meg, hogy a két test sebességváltozás nélkül elhalad egymás mellett.)
3. eset: A fenti két lehetőséget elválasztó határesetben, vagyis amikor

\begin{matrix} v_{0} = \sqrt[]{\frac{2 (m + M) k q Q}{m M d}}, \end{matrix}

(3)

a két gyöngyszem éppen

d

távolságra képes megközelíteni egymást, ott (a tömegközépponti rendszerből nézve) megállnak. A laboratóriumi rendszerhez viszonyítva egyforma,

v_{m}' = v_{M}' = u_{0}

sebességgel mozognak. Ez az eset a rugalmatlan ütközésnek felel meg: a testek mechanikai energiája lecsökken, csak a lendületük összege marad változatlan. Ez a lehetőség bizonyos értelemben ,,instabil'': a kezdeti sebesség végtelen finom beállítását igényelné. Mivel ez ténylegesen nem valósítható meg, a rendszer menthetetlenül ,,bebillen'' az első, vagy a második eset valamelyikébe.

Kacsuk Zsófia (Budaörs, Illyés Gy. Gimn., IV. o.t.) és

Mező Tamás (Szeged, Radnóti M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján