Kezdőlap


Feladat:	F.1976	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bezdek András
Füzet:	1975/november, 126 - 127. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/február: F.1976

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tetraéder $D$ csúcsa mind a feltevésben, mind az állításban megkülönböztetett szerepet játszik az egyenrangú $A$ , $B$ , $C$ csúcsokkal szemben. Tekintsük ezért az $A B C$ lapot alapnak és jelöljük $D$ -nek az alaplapon levő vetületét $O$ -val.

Ekkor az

O D A

O D B

O D C

derékszögű háromszögek a feltevés szerint egybevágók, ezért

A O = B O = C O

, tehát

O

az alapháromszög köré írt kör középpontja, továbbá

A O < A D

. Mivel adott

A B C

alapháromszög mellett

D

tetszőlegesen közel vihető a síkhoz, vagyis az

A D - A O

pozitív különbség tetszőleges kicsivé tehető, azért

(1)

akkor és csakis akkor igaz, ha ‐ az egyszerűbb

A B = c

B C = a

C A = b

A O = r

A D = d

jelölésekkel ‐ teljesül a következő:

\begin{matrix} \frac{1}{c b} + \frac{1}{a c} + \frac{1}{b a} \geq \frac{1}{r^{2}} (> \frac{1}{d^{2}}) \end{matrix}

(2)

Tovább csak ezzel a síkmértani állítással foglalkozunk,

(2)

-t az ismert

2 t = a b c / 2 r = ϱ (a + b + c)

azonosságok ^{$^{*}$} alapján ‐ ahol

t

a háromszög területe és

ϱ

a beírt kör sugara ‐ ekvivalens átalakításokkal a

\begin{matrix} \frac{2 t}{ϱ} = a + b + c \geq \frac{a b c}{r^{2}} = \frac{4 t}{r}, \\ \frac{r}{2} \geq ϱ & (3) \end{matrix}

alakra hozva. Kicsinyítsük a háromszög köré írt kört az

S

súlypontból mint centrumból

1 : 2

arányban és a képet tükrözzük is

S

-re (vagyis tulajdonképpen

(- 1 / 2)

arányú hasonlósági transzformációt végzünk). Mivel

S

harmadolja a súlyvonalakat, a háromszög mindegyik csúcsának képe a szemben fekvő oldal felezőpontjában keletkezik, a háromszög képe az ún. középháromszög, és az e köré írt kör sugara

r / 2

(a háromszög ún. Feuerbach-féle köre). Ez a kör átmetszi a háromszögnek legalább egy oldalát ‐ hacsak az oldalak közt van legalább két különböző hosszúságú, a beírt kör viszont a legnagyobb olyan kör, amelynek nincs pontja a háromszögön kívül, ebből

(3)

helyessége nyilvánvaló. Egyenlőség csak egyenlő oldalú háromszög esetében áll fenn. Ezzel

(2)

-t és az előrebocsátottak szerint a feladat állítását is bebizonyítottuk.

Bezdek András (Dunaújváros, Münnich F. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A feladat kitűzését javasló tanuló a maga megoldásához az F. 1856. feladat megoldásából^{$^{*}$} jutott el az

α

β

γ

súlyok alkalmas megválasztásával.

^{$^{*}$}Az iskolai függvénytáblázat

331.21.

összefüggései

^{$^{*}$}K. M. L. 47 (1973) 121-123. oldal.