Kezdőlap


Feladat:	F.1996	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Puppán József
Füzet:	1976/január, 9 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorika, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/szeptember: F.1996

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk $s db$ tetszőlegesen kitöltött lottószelvényt, és számoljuk meg, hogy az $i$ szám $(1 \leq i \leq 90)$ hány szelvényen szerepel, jelöljük ezt $k_{i}$ -vel. A $k_{1} + k_{2} + ... + k_{90}$ összeg nem más, mint ahány számot a szelvényeken összesen áthúztunk, tehát

\begin{matrix} k_{1} + k_{2} + ... + k_{90} = 5 s . \end{matrix}

Nem növeljük a bal oldal értékét, ha egy tetszőleges

k \geq 0

egész mellett a

k

-nál nagyobb tagok helyére

(k + 1)

-et, a többi helyére

0

-t írunk. Ha a

k

-nál nagyobb

k_{i} - k

száma

n

, akkor a módosítás után a bal oldal értéke

n (k + 1)

lesz. Tehát

n (k + 1) \leq 5 s

, amiből

\begin{matrix} n \leq \frac{5 s}{k + 1} \end{matrix}

adódik, azaz legfeljebb

\frac{5 s}{k + 1}

olyan szám van, amely

k

-nál több szelvényen szerepel. Esetünkben

s = 100

k = 49

, tehát

n \leq 10

, amint azt igazolni akartuk.

Puppán József (Szentendre, Móricz Zs. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Könnyen látható, hogy

10

lottószámmal ki lehet tölteni

100

szelvényt úgy, hogy mindegyik

50

-szer szerepeljen.
2. A bizonyításból látszik, hogy a feladat állítása

109

szelvény kitöltése esetén is igaz.