Kezdőlap


Feladat:	Gy.1946	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Katona Gyula
Füzet:	1981/május, 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Téglalapok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/december: Gy.1946

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $k ≧ 1$ , akkor a négyszög tartalmazza a téglalapot, tehát területe nagyobb a téglalap területénél. Ennél biztosan kisebb lesz a négyszög területe, ha $k < 1$

Legyen

A B = C D = a

B C = A D = b

, ekkor (1)-ből

A A_{1} = k a = C C_{1}

és

B B_{1} - k b = D D_{1}

, valamint

A_{1} B = D C_{1} = (1 - k) a

és

B_{1} C = A D_{1} = (1 - k) b

. Írjuk fel a négyszög területét, felhasználva az előző összefüggéseket, valamint azt, hogy két-két keletkezett derékszögű háromszög egybevágó:

\begin{matrix} t = a b - k a (1 - k) b - b k (1 - k) a = a b - 2 a b k + 2 a b k^{2} = \\ = 2 a b (k^{2} - k + \frac{1}{2}) = 2 a b [{(k - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}] . \end{matrix}

A zárójelben álló másodfokú kifejezés értéke akkor a legkisebb, ha

k = \frac{1}{2}

, azaz ha

A_{1}

B_{1}

C_{1}

D_{1}

éppen felezi a megfelelő téglalap oldalt.

Katona Gyula (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)