|
Feladat: |
F.3040 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Braun Gábor , Burcsi Péter , Elek Péter , Farkas Illés , Gröller Ákos , Hegedűs Viktor , Király Csaba , Kiss Zoltán , Kurucz Zoltán , Lolbert Tamás , Lovász Zoltán , Mann Zoltán , Mile István , Németh Zoltán , Pap Gyula , Rozmán András , Sánta Zsuzsa , Tejfel Máté , Torma Péter , Tóth Gábor Zsolt , Ugron Balázs , Valkó Benedek , Véber Miklós , Vörös Zoltán |
Füzet: |
1995/november,
479 - 481. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kombinatorikai leszámolási problémák, Oszthatóság, Partíciós problémák, Nevezetes azonosságok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/december: F.3040 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ez a példa a Gy. 2952. ikerfeladata, amelynek megoldása az 1995/6. (szeptemberi) szám 346‐347. oldalán található meg. Először bebizonyítjuk, hogy esetén pontosan egyféleképpen írható fel két, 5-tel nem osztható négyzetszám összegeként. Ehhez a következő két segédtételere lesz szükségünk.
1. segédtétel. Legyen , és 5-tel nem osztható egész számok, és . Ekkor az | | azonosságok közül az egyikben mindkét négyzetszám osztható 5-tel, a másikban egyik sem osztható 5-tel. Az, hogy azonosságokról van szó, a négyzetreemelések elvégzésével ellenőrizhető. Elég tehát az 5-tel való oszthatóságot vizsgálni. Ehhez megjegyezzük, hogy mindkét azonosságban a jobb oldalon 5-tel osztható szám áll, tehát ha a bal oldal valamelyik tagja osztható 5-tel, akkor a másik is. Mivel | | az és számok közül legalább az egyik osztható 5-tel. Ebből pedig következik, hogy (1a) vagy (1b) bal oldalán 5-tel osztható számok állnak. Másrészt nem állhat mindkét egyenlet bal oldalán csupa 5-tel osztható szám, mert nem osztható 5-tel.
2. segédtétel. Legyen , és 5-tel nem osztható számok, és . Ekkor az | | egyenletrendszerek egyértelműen megoldhatók, az egyik egyenletrendszer megoldásai egész számok, a másik megoldásai nem egészek. Könnyű ellenőrizni, hogy a megoldások | |
Az 1. segédtételhez hasonlóan igazolható, hogy vagy (2a) megoldásai egészek, vagy (2b) megoldásai. Az (1a) és (1b) azonosságok és az 1. segédtétel alapján minden olyan egész számpárhoz, amelyben sem , sem nem osztható 5-tel, és , hozzárendelhetünk egy olyan számpárt, amelynek tagjai szintén nem oszthatók 5-tel, és . A 2. segédtétel pedig biztosítja, hogy a hozzárendelés megfordítható; minden megfelelő párt pontosan egy számpárhoz rendeltünk hozzá. Következésképpen és ugyanannyiféleképpen írható fel két 5-tel nem osztható négyzetszám összegeként. Mivel egyféleképpen () írható fel, azért minden pozitív egészre pontosan egyféleképpen áll elő két, 5-tel nem osztható négyzetszám összegeként. Ha egész, akkor pontosan annyiféleképpen írható fel két 5-tel osztható négyzetszám összegeként, mint ahányféleképpen felírható két (5-tel nem feltételnül osztható) négyzetszám összegeként. Ez egyszerűen a négyzetszámok 25-tel való megszorzásával adódik, Ehhez jön hozzá az a felbontás, amelyben a két négyzetszám nem osztható 5-tel. Az tehát 1-gyel többféle módon áll elő két négyzetszám összegeként, mint az . Ebből pedig, mivel -ra és -re igaz, teljes indukcióval azonnal következik a feladat állítása.
Megjegyzés. A feladat valójában az egész számok egy kiterjesztésével, az úgynevezett Gauss-egészek halmazával kapcsolatos. Gauss-egészeknek az alakú számokat nevezik, ahol és egészek, a komplex egység. Ezeken a számokon a komplex műveleti szabályoknak megfelelően definiálható az abszolút érték, az összeadás, a kivonás, a szorzás, az oszthatóság, sőt még a maradékos osztás is. Négy olyan Gauss-egész van, amely minden Gauss-egésznek osztója: az 1, a , az és a . Ezeket nevezik egységeknek. Két Gauss-egészt asszociáltnak nevezünk, ha valamelyik a másiknak egységszerese. Ha egy egységtől különböző Gauss-egésznek az egységeken kívül csak önmagával asszociált osztója van, akkor felbonthatatlannak (irreducibilisnek) nevezzük. A Gauss-egészek egyik legfontosabb tulajdonsága, hogy érvényes rájuk a számelmélet alaptétele: minden egységtől és 0-tól különböző Gauss-egész felírható felbonthatatlan számok szorzataként, és a felbontásban szereplő tényezők a sorrendtől és asszociáltságtól eltekintve egyértelműek. Az alaptétel következménye, hogy minden felbonthatatlan szám prím, azaz ha osztója egy szorzatnak, akkor valamelyik tényezőnek is osztója. A feladat lényegében annak meghatározása, hogy hány olyan alakú Gauss-egész van, amelyre . Mivel és , a számelmélet alaptétele miatt alakú, ahol egység és . Az ilyen számok száma . Az két négyzetszámként való felírásait többnyire nyolcszor kapjuk meg, kivéve azokat, amelyekben valamelyik négyzetszám . (Ez csak páros esetben fordul elő.) Az két négyzetszám összegeként történő felírásainak száma tehát páratlan esetén , páros esetén . Be lehet bizonyítani, hogy a alakú prímszámok a Gauss-egészek körében is felbonthatatlanok, következésképpen prímek, a többi prímszám felbontható két Gauss-egész szorzatára (pl. ). Ennek felhasználásával be lehet bizonyítani, hogy egy pozitív egész pontosan annyiféleképpen írható fel két négyzetszám összegeként, mint amennyi a és alakú osztói számának különbsége. Különbözőnek tekintjük az és a felírást, ha , de kikötjük, hogy . Ennek a tételnek a felhasználásával a megoldás egyszerűbb az előzőnél, bár attól nem lényegesen különböző.
|
|