A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a feladatot megoldottnak. A -n átmenő és egymással szöget bezáró és egyenesek az adott és körökből az egyenlő hosszúságú és húrokat metszik ki (1. ábra). Forgassuk el -t és -et körül szöggel úgy, hogy képe legyen. A képe legyen , és képe pedig , illetve . Ezzel problémánkat visszavezettük a következő, egyszerűbb feladatra: Adott két kör és egy pont. Szerkesszünk a ponton át olyan egyenest, amelyik a körökből egyenlő hosszúságú húrokat metsz ki. Eredeti feladatunk megoldásainak száma a módosított feladat megoldásszámától függ. Terjedelmi okokból a szokásos diszkussziótól el kell tekintenünk, ugyanis többféle bonyodalom adódhat. Az 1. ábrán felvett helyzetben azért lesz megoldás, mert a és körök -ből vett látószögtartományainak van közös része, de egyik sem esik bele teljesen a másikba; körül forgatva a szelőt, az egyikből kimetszett húr hosszabbodik, a másik rövidül. Ismétlődne ez, ha e két kör ,,között'' lenne és emiatt egyik szögtartomány helyett csúcsszögtartományát néznénk. Valamivel nagyobb esetén már nem lenne közös rész. Más is okozhat gondot, pl. ha metszené -et, így csak akkor lehetne megoldás, ha közös húregyenesük éppen átmenne -n. Előfordulhatna esetén, hogy a két kör azonos. Bele is eshetne a -be, ha , másrészt esetleg ,,elnyelné'' azt, ha . Az esetben, ha a -en kívül esne, és ,,köztük'' volna,, gondolnunk kellene az egyenessel párhuzamos közös szelőre, és olyanra is, amely szétválasztja a két középpontot. Visszatérve a feladat megoldására, toljuk el -t az vektorral, a képét jelöljük -vel. Mivel , ezért az eltolásnál képe lesz. Jelöljük , , , -vel a , , és körök középpontját. Az egyenes a és körök közös húrja, ezért merőleges -re. Viszont az eltolás miatt , tehát , azaz rajta van az szakasz Thalész-körén. -ből ‐ sőt az egyenes minden pontjából ‐ a és körökhöz egyenlő hosszúságú érintők húzhatók (ennek az állításnak a bizonyítása megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének 1323. feladatában). Jelöljük ennek az érintőnek a hosszát -vel, sugarát pedig -vel. Tudjuk, hogy az érintő merőleges az érintési pontban húzott sugárra, ezért Pitagorasz tétele szerint és (2. ábra). Vagyis . Tehát rajta van a középpontú, sugarú körön. Ezek alapján a szerkesztést az alábbi módon végezhetjük: , és ismeretében megszerkesztjük a távolságot (3. ábra), majd ezzel a távolsággal mint sugárral körül kört rajzolunk. Jelöljük ezt a kört -lel. , és segítségével megszerkesztjük -t. Thalész-körének és -nek a metszéspontja adja -t. Az körüli sugarú kör és metszéspontjai megadják a -n átmenő egyenest. Végül -t körül szöggel visszaforgatva (azaz az irányított szöggel ellentétes irányban forgatva ‐ 4. ábra) megkapjuk az egyenest. A szerkesztésből következik, hogy és a feladat feltételeinek megfelelő szelők. A megoldások száma -re 2, 1 vagy 0, attól függően, hogy Thalész-körének és -nek hány közös pontja van. De az is kérdés, hogy a második az körüli sugarú kör metszi-e a -et.
Szabados Péter (Dombóvár, Illyés Gy. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján |
|