A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tegyük fel, hogy megtaláltuk a forgatva nyújtás középpontját (1. ábra). Az és háromszögek hasonlóságából következik, hogy . Ha , akkor azt jelenti, hogy rajta van az , alappontokhoz tartozó arányú Apollóniosz-körön, ábránkon ez a kör. Hasonlóan megállapíthatjuk, hogy illeszkedik a , alappontokhoz tartozó ugyanilyen arányú Apollóniosz-körre is. Ezért a két kör közös pontja, a körök ismert módon szerkeszthetők. (Lásd pl. H. S. N. Coxeter: A geometriák alapjai, 100. old.) A szerkesztésből következik, hogy a feladatnak legfeljebb két megoldása lehet. Az 1. ábrán megoldás, de és másik metszéspontja, nem az. Ennek az az oka, hogy az és háromszögek körüljárási iránya eltérő, és így forgatva nyújtással nem vihetők egymásba. Ugyanez a helyzet, ha az és húroknak nincs közös pontja. Ha és érinti egymást egy pontban, csak akkor megoldás, ha az és a háromszögek körüljárási iránya megegyezik. Hátravan még az eset. Ekkor az , , , pontok körülírt körének a középpontja lesz, de most is csak akkor van megoldás, ha és körüljárási iránya azonos. Megjegyzés. Egy másik megoldást kapunk a következőképpen: a 2. ábrán és metszéspontja , és megszerkesztettük az és a köré írt kört. Tegyük fel, hogy ez a két kör -en kívül még egy pontban is metszi egymást. Bebizonyítjuk, hogy a pont megfelel a forgatva nyújtás középpontjának. Az húrnégyszög révén . Hasonlóan az húrnégyszögből . Ezért az hasonló a -höz, és körüli forgatva nyújtással egymásba vihetők át. Hasonlóan vizsgálható az az eset, amikor az és szakaszok közös pontja, továbbá ha az és köré írt körök érintik egymást, amikor is azonos -mel.
Elek Péter (Bp., Árpád Gimn., III. o.t.) |
|