Tegyük fel, hogy megtaláltuk a forgatva nyújtás $P$ középpontját (1. ábra). Az $APC$ és $BPD$ háromszögek hasonlóságából következik, hogy $\frac{AP}{BP}=\frac{CP}{DP}=\frac{AC}{BD}$. Ha $AC\ne BD$, akkor $\frac{AP}{BP}=\frac{AC}{BD}$ azt jelenti, hogy $P$ rajta van az $A$, $B$ alappontokhoz tartozó $\frac{AC}{BD}$ arányú Apollóniosz-körön, ábránkon ez a $k_1$ kör. Hasonlóan megállapíthatjuk, hogy $P$ illeszkedik a $C$, $D$ alappontokhoz tartozó ugyanilyen arányú Apollóniosz-körre is. Ezért $P$ a két kör közös pontja, a körök ismert módon szerkeszthetők. (Lásd pl. H. S. N. Coxeter: A geometriák alapjai, 100. old.)
A szerkesztésből következik, hogy a feladatnak legfeljebb két megoldása lehet. Az 1. ábrán $P$ megoldás, de $k_1$ és $k_2$ másik metszéspontja, $P_1$ nem az. Ennek az az oka, hogy az $A{P}_{1}C$ és $B{P}_{1}D$ háromszögek körüljárási iránya eltérő, és így forgatva nyújtással nem vihetők egymásba. Ugyanez a helyzet, ha az $AB$ és $CD$ húroknak nincs közös pontja. Ha $k_1$ és $k_2$ érinti egymást egy $P$ pontban, $P$ csak akkor megoldás, ha az $APC$ és a $BPD$ háromszögek körüljárási iránya megegyezik.
Hátravan még az $AC=BD$ eset. Ekkor $P$ az $A$, $B$, $C$, $D$ pontok körülírt körének a középpontja lesz, de most is csak akkor van megoldás, ha $APC$ és $BPD$ körüljárási iránya azonos.
Megjegyzés. Egy másik megoldást kapunk a következőképpen: a 2. ábrán $AC$ és $BD$ metszéspontja $M$, és megszerkesztettük az $ABM▵$ és a $DCM▵$ köré írt kört. Tegyük fel, hogy ez a két kör $M$-en kívül még egy $P$ pontban is metszi egymást. Bebizonyítjuk, hogy a $P$ pont megfelel a forgatva nyújtás középpontjának. Az $MAPB$ húrnégyszög révén $CAP\sphericalangle =DBP\sphericalangle$. Hasonlóan az $MDPC$ húrnégyszögből $ACP\sphericalangle =BDP\sphericalangle$. Ezért az $APC▵$ hasonló a $BPD▵$-höz, és $P$ körüli forgatva nyújtással egymásba vihetők át. Hasonlóan vizsgálható az az eset, amikor $M$ az $AC$ és $BD$ szakaszok közös pontja, továbbá ha az $ABM▵$ és $DCM▵$ köré írt körök érintik egymást, amikor is $P$ azonos $M$-mel.