Kezdőlap


Feladat:	F.3043	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Elek Péter , Makai Márton , Séllei Béla , Vörös Zoltán
Füzet:	1995/október, 417. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Terület, felszín, Húrnégyszögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/december: F.3043

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A P$ , $B P$ , $C P$ távolságokat rendre $a_{1}$ , $b_{1}$ , $c_{1}$ -gyel, és használjuk az ábra jelöléseit. Ismeretes, hogy a háromszög területe $t = \frac{a b c}{4 R}$ , ahol $R$ a körülírt kör sugara. Mivel a feladatban említett háromszögek körülírt köre azonos, így

\begin{matrix} t_{a} = \frac{a b_{1} c_{1}}{4 R}, t_{b} = \frac{b a_{1} c_{1}}{4 R}, t_{c} = \frac{c a_{1} b_{1}}{4 R} . \end{matrix}

(1)

Az (1) összefüggés szerint a bizonyítandó állítás:

\begin{matrix} \frac{4 R a^{2}}{a b_{1} c_{1}} + \frac{4 R b^{2}}{b a_{1} c_{1}} = \frac{4 R c^{2}}{c a_{1} b_{1}}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} a a_{1} + b b_{1} = c c_{1} . \end{matrix}

(2)

Ez éppen az

A P B C

(konvex) húrnégyszögre felírt Ptolemaiosz tétel, és ekvivalens a feladat állításával; ezért a bizonyítással készen vagyunk.

Elek Péter (Bp., Árpád Gimn., III. o.t.) és

Séllei Béla (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o.t.)

Megjegyzés. A megoldásban kihasználtuk, hogy

C

A B

ív belső pontja. Ezt megtehetjük, hiszen egyébként az (1)-ben szereplő valamelyik terület zérus, és akkor a feladat állítása értelmetlen lenne.