Kezdőlap


Feladat:	F.3041	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lovász Zoltán , Makai Márton , Valkó Benedek
Füzet:	1995/október, 416. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Gyökös függvények, Egészrész, törtrész függvények, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/december: F.3041

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $M$ azoknak a pozitív egészekből álló $(x, y)$ számpároknak a száma, amelyekre $x^{2} y \leq N^{2}$ . Megmutatjuk, hogy mindkét oldalon $M$ áll.
Először megjegyezzük, hogy minden számpárban $x \leq N$ és $y \leq N^{2}$ .
Csoportosítsuk a számpárokat az első tagjuk szerint. Ha $1 \leq x \leq N$ rögzített, akkor $y$ -ra az $1 \leq y \leq \frac{N^{2}}{x^{2}}$ egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. Az ilyen $y$ -ok száma $[\frac{N^{2}}{x^{2}}]$ . Ezeket minden $x$ -re összeadva kapjuk, hogy

\begin{matrix} M = \sum_{x = 1}^{N} [\frac{N^{2}}{x^{2}}] = [\frac{N^{2}}{1^{2}}] + [\frac{N^{2}}{2^{2}}] + ... + [\frac{N^{2}}{{(N - 1)}^{2}}] + [\frac{N^{2}}{N^{2}}] . \end{matrix}

Csoportosítsuk a párokat most a második tagjuk szerint. Ha

1 \leq y \leq N^{2}

rögzített, akkor

x

-et úgy kell választanunk, hogy

1 \leq x^{2} \leq \frac{N^{2}}{y}

, azaz

1 \leq x \leq \frac{N}{\sqrt[]{y}}

teljesüljön. Az ilyen

x

-ek száma

[\frac{N}{\sqrt[]{y}}]

, ezért

\begin{matrix} M = \sum_{y = 1}^{N^{2}} [\frac{N}{\sqrt[]{y}}] = [\frac{N}{\sqrt[]{1}}] + [\frac{N}{\sqrt[]{2}}] + ... + [\frac{N}{\sqrt[]{N^{2} - 1}}] + [\frac{N}{\sqrt[]{N^{2}}}] . \end{matrix}

Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.