A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a hasáb csúcsait , , , , , , , -val az 1. ábra szerint, és legyen . Ekkor nyilván is . Általában is a testátló a végpontjain átmenő párhuzamos lapok azon átlójával, amely a testátló végpontjából indul ki, mindig ugyanakkora szöget zár be. A négyzet oldalait tekinthetjük egységnyinek, ekkor a négyzet átlóinak, így a hasáb oldaléleinek hossza is , a testátló hossza , az oldallapok átlóinak hossza egység. Először számítsuk ki a testátlónak az lapátlóval bezárt szögét. Mivel a két egyenes kitérő, hajlásszögük megegyezik azon két egyenes hajlásszögével, amelyet úgy kapunk, hogy -t önmagával párhuzamosan eltoljuk, míg -t nem metszi. Messük el a hasábot az középpontján átmenő, alapsíkkal párhuzamos síkkal. A sík az élt az , a élt az pontban metszi. Az szakasz párhuzamos -vel, és az pontban metszi -t. Az négyszög oldalai egyenlő hosszúak (a hasáb egy csúcsát az oldallapon vele szemköztes él felezőpontjával összekötő szakaszok), amiből következik, hogy a négyszög átlói merőlegesek egymásra. A testátló tehát az lapátlóval -os szöget zár be. Másodjára a szögeket számítjuk ki. A keresett szögek mindegyike egy , , egység oldalú háromszögnek az egységnyi oldallal szemben fekvő szöge (2. ábra). Könnyű belátni, hogy egy ilyen háromszög éppen a fele egy egység oldalú szabályos háromszögnek, amiből következik, hogy a keresett szög (3. ábra). A hátralevő , , , lapátlók ismét egyenlő szögeket zárnak be -vel. Ezek közül a és egyenesek szögét számítjuk ki. Toljuk el az síkot önmagával párhuzamosan az él felezőpontjába (4. ábra). Ekkor , és metszéspontja . Az háromszögben , , hossza pedig az derékszögű háromszögből: A háromszögben írjuk fel a koszinusz tételt a szögre. | | ahonnan . Összegezve: a testátló a és átlókkal -os szöget, az és átlókkal -os szöget, a , , , átlókkal -os szöget, az , , , átlókkal -os szöget zár be.
Méder Áron (Budapest, Táncsics M. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján |
|