Kezdőlap


Feladat:	C.379	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1995/október, 401 - 402. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometriával, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/december: C.379

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egymást páronként érintő $a / 2$ sugarú körök $120^{\circ}$ -os forgatással egymásba vihetők, ezért területük egyenlő. A körök egy része, egy körcikk és két kis körszelet esik a körülírt körbe. Először a körcikkek egyikének, az $A E D$ -nek a területét fogjuk kiszámítani. Ehhez ismernünk kell a körcikket alkotó szöget, illetőleg ‐ a tengelyes szimmetria miatt ‐ elegendő a felét meghatározni, jelöljük ezt $β$ -val. Összesen 6 ilyen $β$ szögű körcikk esik a körbe. Ezenkívül a lefedett rész még 6 darab, az ábrán bevonalkázott $A D$ körszelettel egybevágó részből áll. Ez utóbbiak területét az $A O D$ körcikk $A O D ∢ = α$ szögének ismeretében számítjuk ki.
Tekintsük az $A O D$ háromszöget, ahol $O$ a körülírt kör középpontja. Mivel a háromszög szabályos, körülírt körének sugara a magasságának $2 / 3$ része, azaz $r = \frac{2}{3} \frac{a \sqrt[]{3}}{2} = \frac{a \sqrt[]{3}}{3}$ .
Írjuk fel az $A O D$ háromszög $β$ szögére a koszinusztételt:

\begin{matrix} \begin{matrix} cos β = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \\ = \frac{{(\frac{a \sqrt[]{3}}{3})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} - {(\frac{a \sqrt[]{3}}{3})}^{2}}{2 \cdot \frac{a \sqrt[]{3}}{3} \cdot \frac{a}{2}} = \frac{\sqrt[]{3}}{4}, \end{matrix} \end{matrix}

ahonnan

cos β = 0, 4330

β \approx 64^{\circ} 20'

, radiánokban:

\begin{matrix} \begin{matrix} 360^{\circ} : 2 π = 64, 34^{\circ} : β, \\ β = 1, 1230 radián . \end{matrix} \end{matrix}

Egy körcikk területe:

\begin{matrix} \frac{{(\frac{a}{2})}^{2} \cdot 1, 1230}{2} = a^{2} \cdot \frac{1}{8} \cdot 1, 1230. \end{matrix}

(1)

A körszeletek területe

\frac{1}{2} r^{2} (\hat{α} - sin α)

, ahol

\hat{α}

α

szög radiánokban kifejezett értéke. (A képletet megtalálhatjuk a függvénytáblázatban, de enélkül is meghatározhatjuk a területet a körcikk és a háromszög területének ismeretében.)

\begin{matrix} \begin{matrix} α = 180^{\circ} - 2 \cdot 64, 34^{\circ} = 51, 32^{\circ}, \\ radiánokban kifejezve: 0, 8957. \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} T_{körszelet} = \frac{1}{2} {(\frac{a \sqrt[]{3}}{3})}^{2} (0, 8957 - sin 51, 32^{\circ}) = \frac{1}{6} a^{2} 0, 1150. \end{matrix}

(2)

A körülírt kör területe:

{(\frac{a \sqrt[]{3}}{3})}^{2} π

.
Végül, (1) és (2) 6-szorosának összegét elosztva a körülírt kör területével, kapjuk a keresett arányt:

\begin{matrix} \frac{6 (a^{2} \cdot \frac{1}{8} \cdot 1, 1230 + \frac{1}{6} a^{2} \cdot 0, 1150)}{\frac{a^{2}}{3} \cdot π} = \frac{\frac{3}{4} \cdot 1, 1230 + 0, 1150}{\frac{π}{3}} \approx 0, 9140 \end{matrix}

Azaz a körök a körülírt kör területének több mint

9 / 10

-ét fedik le. (A számításokat 4 tizedesjegy pontossággal végeztük.)