Feladat: C.376 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Anga András ,  Bakos Viktor ,  Császár Miklós ,  Dányádi Attila ,  Dezső Zsuzsanna ,  Fazekas Péter ,  Fejes Eszter ,  Fejes Zsuzsanna ,  Forrai Gábor ,  Gelencsér András ,  Gonda Péter ,  Gyarmati Csaba ,  Hajdú Viktória ,  Hegedűs Dalma ,  Heringer Dávid ,  Hikádi Attila ,  Imre Gábor ,  Inkovics Gábor ,  Kolozsvári József ,  Kovács Emőke ,  Lányi Árpád ,  Magyar Krisztina ,  Mánya Virág ,  Márkus Erika ,  Márton Izabella ,  Máthé Tamás ,  Méder Áron ,  Mihálffy Tamás ,  Nagy Andrea ,  Németh László ,  Orosz Andrea ,  Paál Judit ,  Papp Eszter ,  Rajnai Márk ,  Sári Bence ,  Sarinay Dávid ,  Sarlós Ferenc ,  Sebestyén Dezső ,  Simonics Gábor ,  Szarvas Ferenc ,  Szepesi Zoltán ,  Szita István ,  Tóth Balázs ,  Vereszki Péter ,  Vígh Anikó 
Füzet: 1995/október, 400 - 401. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenes körhengerek, Ellipszis, mint kúpszelet, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/november: C.376

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az ellipszis nagytengelyének végpontjait A és B-vel, kistengelyének végpontjait C és D-vel, középpontját O-val.
Vágjuk fel a hengerpalástot a C ponton átmenő alkotója mentén, és terítsük ki a síkba. A palást kiterítésével kapott téglalap ,,vízszintes'' oldalának hossza 2π (r=1). Tekintsük a C ponton átmenő alkotót egy koordináta-rendszer y tengelyének, a C és D ponton átmenő, az alapsíkkal párhuzamos kör kiterített egyenesét pedig x tengelynek.
A C ponttal átellenes D pont az y tengelytől π távolságra van. Az A és B az y tengelytől 3π2, illetőleg π2 távolságra vannak, a (2π;0) pont zárópontja a görbének.
Határozzuk meg az A és B pontok ordinátáit. Az alapsíkkal párhuzamos, az O ponton átmenő kör a hengerpalást A és B ponton átmenő alkotóját érintse az F és E pontokban. Az OBE és OFA egyenlő szárú derékszögű háromszögek, BOE∢=AOF∢=45∘, s így EB=AF=1, vagyis a B és A pontok egységnyi távolságra vannak az x tengelytől (B felfelé, A lefelé).
Tekintsük végül az ellipszis egy tetszőleges P pontját, és határozzuk meg P-nek az x tengelytől (vagyis a k körtől) való távolságát (3. ábra).
Legyen P vetülete k-ra P', a P-ből az OC-re állított merőleges talppontja P''. Ekkor PP''‖AB-vel (egysíkúak és mindkettő merőleges OC-re), és PP''P'∢=45∘, azaz PP'=P'P'', ami nem más, mint a CP' ívhez tartozó szinusz érték. (Definíció szerint az egységsugarú körben az x forgásszöghöz tartozó ív végpontjának ordinátája a szög szinuszával egyenlő ld. 2. ábra).
A görbe tehát a szinuszgörbe egy periódusa.
Megjegyzés. A megoldók egy része tanulmányai során még nem találkozott a szinuszgörbével, így csak az ábrázolt pontok alapján következtetett a görbe menetére. Ezek a dolgozatok hiányosnak minősültek. Hasonlóan hiányos azoknak a dolgozata, akik felrajzolták a görbét, de nem bizonyították, hogy valóban ez adódik a síkba terítéskor. Akik csak 3‐4 pontot ábrázoltak minden magyarázat nélkül, nem kaptak pontot a dolgozatukra.