Kezdőlap


Feladat:	F.3045	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hegedűs Viktor , Kováts Antal , Németh Zoltán
Füzet:	1995/szeptember, 349 - 350. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Függvényvizsgálat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/december: F.3045

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Legyen $A B = B P = D P = a$ , $A D = B C = A P = 1$ és $D A P ∢ = α$ . A feltételek szerint az $A D P ▵$ és $A B P ▵$ egyenlő szárú, és mindkét háromszög szögei $α$ -val kifejezhetők. Az $A F$ és $B G$ magasságok meghúzása után keletkező derékszögű háromszögekből $sin \frac{α}{2} = \frac{a}{2}$ , illetve $sin α = \frac{1}{2 a}$ . Ha létezik olyan $α$ szög és $a$ pozitív szám, amelyek kielégítik ezeket az egyenleteket, akkor a feladat feltételeinek megfelelő téglalap is létezik. A két egyenlet szorzatából

\begin{matrix} \begin{matrix} sin \frac{α}{2} \cdot sin α & = \frac{1}{4}, azaz \\ sin \frac{α}{2} \cdot 2 \cdot sin \frac{α}{2} \cdot cos \frac{α}{2} & = \frac{1}{4}, \\ sin^{2} \frac{α}{2} \cdot cos \frac{α}{2} & = \frac{1}{8}, \\ (1 - cos^{2} \frac{α}{2}) \cdot cos \frac{α}{2} & = \frac{1}{8}, \\ cos^{3} \frac{α}{2} - cos \frac{α}{2} + \frac{1}{8} & = 0. \end{matrix} \end{matrix}

f (α) = cos^{3} \frac{α}{2} - cos \frac{α}{2} + \frac{1}{8}

függvény folytonos, az

α = 0

helyen pozitív, hiszen

f (0) = \frac{1}{8}

, az

α = \frac{π}{2}

helyen pedig negatív, hiszen

f (\frac{π}{2}) = {(\frac{\sqrt[]{2}}{2})}^{3} - \frac{\sqrt[]{2}}{2} + \frac{1}{8} < 0

. Ezért Bolzano tétele szerint a

[0; \frac{π}{2}]

intervallumban van olyan

α_{0}

szög, amelyre

f (α_{0}) = 0

. Tehát a feladatban kérdezett téglalap létezik. Pontosabb függvényvizsgálattal belátható, hogy egyetlen ilyen

α_{0}

létezik, és

α_{0} \approx 43^{\circ}

, innen a téglalap kisebbik oldala

a \approx 0,733

Kováts Antal (Budapest, ELTE Radnóti M. Gyak. Gimn., IV. o.t.)

Megjegyzés. Eredményünk azt jelenti, hogy a kapott

A B C D

téglalapban az

A

körüli és

D

-n átmenő, a

D

körüli és

C

-n átmenő, végül a

B

körüli és

A

-n átmenő körök egy

P

ponton mennek át (2. ábra).