Kezdőlap


Feladat:	F.3030	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1995/szeptember, 347 - 348. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/október: F.3030

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a sorozatok száma $n$ , differenciáik $d_{1}$ , $d_{2}$ , $...$ , $d_{n}$ . Mivel a sorozatok monoton nőnek, a differenciák nemnegatívak; mivel pedig létezik a reciprokuk, csak pozitívak lehetnek.
Legyen $N$ pozitív egész. Becsüljük meg, hogy az egyes sorozatok az $1$ , $2$ , $...$ , $N$ számok közül legfeljebb hányat tartalmazhatnak. Tegyük fel, hogy a $k$ -adik sorozat $h_{k}$ egészt tartalmaz a felsorolt számok közül. Ezek közül a legnagyobb és a legkisebb különbsége legfeljebb $N - 1$ , másrészt ‐ mivel egy $d_{k}$ differenciájú számtani sorozatról van szó ‐, legalább $(h_{k} - 1) d_{k}$ . Következésképp $(h_{k} - 1) d_{k} \leq N - 1 < N$ , amiből

\begin{matrix} h_{k} < \frac{N}{d_{k}} + 1. \end{matrix}

Ha ezt minden

k

-ra összeadjuk, azt kapjuk, hogy az

n

számtani sorozat összesen legfeljebb

\begin{matrix} h_{1} + ... + h_{n} < \frac{N}{d_{1}} + ... + \frac{N}{d_{n}} + n \end{matrix}

N

-nél nem nagyobb pozitív egészt tartalmaz. Ha ezt

N

-ből kivonjuk, egy alsó becslést kapunk azoknak a természetes számoknak a számára, amelyek egyik számtani sorozatban sem szerepelnek: ezek száma nagyobb, mint

\begin{matrix} N - (\frac{N}{d_{1}} - ... - \frac{N}{d_{n}} + n) = (1 - (\frac{1}{d_{1}} + ... + \frac{1}{d_{n}})) N - n . \end{matrix}

A feladat feltétele szerint az

N

együtthatója pozitív, az utolsó tag,

n

konstans, ezért ez a szám tetszőlegesen nagy lehet.

Megjegyzések. 1. Ha a differenciák egészek, a megoldás egyszerűbben is elmondható. Ilyenkor tetszőleges

N

számra a számtani sorozatok az

N + 1

N + 2

...

N + d_{1} d_{2} ... d_{n}

számok közül összesen legfeljebb

\begin{matrix} (\frac{1}{d_{1}} + ... + \frac{1}{d_{n}}) d_{1} ... d_{n} < d_{1} ... d_{n} \end{matrix}

darabot tartalmazhatnak, vagyis legalább egy kimarad.
Az általános esetet nem nehéz a csupa egész differencia esetére visszavezetni.
2. Ha a differenciák reciprokösszege

1

, akkor a sorozatok tartalmazhatják az összes pozitív egészt. Ehhez szükséges, hogy a differenciák egészek, a sorozatok pedig diszjunktak legyenek.
Ismert eredmény (lásd pl. a KöMaL 1986. áprilisi számának 154. oldalán), hogy ilyenkor mindig van legalább két egyforma differencia.