|
Feladat: |
Gy.2952 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balogh Virág , Bárány Kristóf , Bartha Sándor , Bérczi Gergely , Czirok Levente , Dargó Eszter , Devecsery András , Erdélyi Tibor , Fodor Bea , Formanek Csaba , Gáspár László , Gueth Krisztián , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Jeszenszky Gyula , Kiss Laura , Koncz Imre , Kosnás Attila Tamás , Less Áron , Lipusz Gabriella , Mátrai Tamás , Méder Áron , Mika Péter , Muth Lóránt , Nagy Margit , Nyakas Péter , Nyilas Gábor , Nyul Gábor , Paczári Krisztián , Pap Gyula , Pap Júlia , Pintér Dömötör , Pogány Ádám , Puskás Péter , Ritz Attila , Sári Nóra , Simon Barna , Szabó Gábor , Szépszó Gabriella , Szilágyi Jenő , Terpai Tamás , Tóth Ádám , Vaik Zsuzsanna , Varga Péter , Várkonyi Péter , Vőneki Csaba , Übelhart István , Zawadowski Ádám , Zubcsek Péter Pál , Zöldy Balázs |
Füzet: |
1995/szeptember,
346 - 347. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Oszthatósági feladatok, Teljes indukció módszere, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/december: Gy.2952 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk. Az és esetekben nyilvánvaló, hogy csak a felírások lehetségesek. Tegyük föl, hogy az állítás igaz 0, 1, , esetén () és vizsgáljuk -re. Tekintsük egy feltételezett felírását: Egy négyzetszám 4-gyel osztva 0 vagy 1 maradékot adhat: esetén , esetén pedig . Mivel , azért , tehát . Ez viszont csak úgy lehetséges, ha és mindegyike páros, azaz alkalmas , egész számokkal , . Ezt (1)-be írva , vagyis . Az indukciós feltevés szerint (valóban használhatjuk, hiszen ) ez pontosan egyféle és esetén teljesül, és így lesz az egyetlen pár, amire (1) teljesül. Ezzel az indukciós lépést és egyben a feladat állítását is beláttuk. A kérdéses előállításokat egyébként konkrétan meg is tudjuk adni: | |
Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján |
|
|