Kezdőlap


Feladat:	Gy.2952	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Virág , Bárány Kristóf , Bartha Sándor , Bérczi Gergely , Czirok Levente , Dargó Eszter , Devecsery András , Erdélyi Tibor , Fodor Bea , Formanek Csaba , Gáspár László , Gueth Krisztián , Gyenes Zoltán , Hangya Balázs , Jeszenszky Gyula , Kiss Laura , Koncz Imre , Kosnás Attila Tamás , Less Áron , Lipusz Gabriella , Mátrai Tamás , Méder Áron , Mika Péter , Muth Lóránt , Nagy Margit , Nyakas Péter , Nyilas Gábor , Nyul Gábor , Paczári Krisztián , Pap Gyula , Pap Júlia , Pintér Dömötör , Pogány Ádám , Puskás Péter , Ritz Attila , Sári Nóra , Simon Barna , Szabó Gábor , Szépszó Gabriella , Szilágyi Jenő , Terpai Tamás , Tóth Ádám , Vaik Zsuzsanna , Varga Péter , Várkonyi Péter , Vőneki Csaba , Übelhart István , Zawadowski Ádám , Zubcsek Péter Pál , Zöldy Balázs
Füzet:	1995/szeptember, 346 - 347. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/december: Gy.2952

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítást teljes indukcióval bizonyítjuk. Az $n = 0$ és $n = 1$ esetekben nyilvánvaló, hogy csak a

\begin{matrix} 2^{0} = 1 = 1^{2} + 0^{2} és 2^{1} = 2 = 1^{2} + 1^{2} \end{matrix}

felírások lehetségesek.
Tegyük föl, hogy az állítás igaz 0, 1,

...

n

esetén (

n \geq 1

) és vizsgáljuk

n + 1

-re. Tekintsük

2^{n + 1}

egy feltételezett felírását:

\begin{matrix} 2^{n + 1} = a^{2} + b^{2} . \end{matrix}

(1)

Egy négyzetszám 4-gyel osztva 0 vagy 1 maradékot adhat:

x = 2 k

esetén

x^{2} = 4 k^{2}

x = 2 k + 1

esetén pedig

x^{2} = {(2 k + 1)}^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 4 (k^{2} + k) + 1

. Mivel

n \geq 1

, azért

4 ∣ 2^{n + 1}

, tehát

4 ∣ a^{2} + b^{2}

. Ez viszont csak úgy lehetséges, ha

a

és

b

mindegyike páros, azaz alkalmas

a

b

egész számokkal

a = 2 a_{1}

b = 2 b_{1}

. Ezt (1)-be írva

2^{n + 1} = 4 a_{1}^{2} + 4 b_{1}^{2} = 4 (a_{1}^{2} + b_{1}^{2})

, vagyis

2^{n - 1} = a_{1}^{2} + b_{1}^{2}

. Az indukciós feltevés szerint (valóban használhatjuk, hiszen

n - 1 \geq 0

) ez pontosan egyféle

a_{1}

és

b_{1}

esetén teljesül, és így

(2 a_{1}; 2 b_{1})

lesz az egyetlen pár, amire (1) teljesül. Ezzel az indukciós lépést és egyben a feladat állítását is beláttuk. A kérdéses előállításokat egyébként konkrétan meg is tudjuk adni:

\begin{matrix} 2^{2 k} = {(2^{k})}^{2} + 0^{2}; 2^{2 k + 1} = {(2^{k})}^{2} + {(2^{k})}^{2} . \end{matrix}

Frenkel Péter (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján