Kezdőlap


Feladat:	N.48	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Burcsi Péter , Dombi Gergely , Izsák Ferenc , Makai Márton , Pap Gyula , Séllei Béla , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Újváry-Menyhárt Mónika , Valkó Benedek
Füzet:	1995/május, 292 - 293. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Koszinusztétel alkalmazása, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/november: N.48

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük azt az esetet, amikor a kis körök a nagy körön belül vannak.
Legyen a $k$ kör sugara $R$ , középpontja $O$ , $k_{1}$ és $k_{2}$ sugara $r_{1}$ és $r_{2}$ , középpontja $O_{1}$ és $O_{2}$ . Legyen a $P_{1} O P_{2}$ szög $α$ .
A koszinusztételt felírjuk $O O_{1} O_{2}$ háromszögre:

\begin{matrix} {(r_{1} + r_{2})}^{2} = {(R - r_{1})}^{2} + {(R - r_{2})}^{2} - 2 (R - r_{1}) (R - r_{2}) cos α . \end{matrix}

Mivel

R \neq r_{1,2}

, azért

\begin{matrix} \begin{matrix} cos α & = \frac{{(R - r_{1})}^{2} + {(R - r_{2})}^{2} - {(r_{1} + r_{2})}^{2}}{2 (R - r_{1}) (R - r_{2})} = \\ = \frac{R^{2} - R r_{1} - R r_{2} - r_{1} r_{2}}{(R - r_{1}) (R - r_{2})} = 1 - \frac{2 r_{1} r_{2}}{(R - r_{1}) (R - r_{2})} . \end{matrix} \end{matrix}

A koszinusztételt felírva

P_{1} O P_{2}

-re: (kihasználva a

cos α

-ra kapott kifejezést):

\begin{matrix} \begin{matrix} P_{1} P_{2}^{2} = 2 R^{2} - 2 R^{2} cos α = \\ 2 R^{2} (1 - c o s α) = 2 R^{2} \frac{2 r_{1} 2 r_{2}}{(R - r_{1}) (R - r_{2})}, \end{matrix} \end{matrix}

így

\begin{matrix} P_{1} P_{2} = 2 R \sqrt[]{\frac{r_{1} r_{2}}{(R - r_{1}) (R - r_{2})}} . \end{matrix}

Hasonló összefüggéseket írhatunk fel

P_{2} P_{3}

...

P_{6} P_{1}

-re is. Ezek alapján észrevehető, hogy

\begin{matrix} P_{1} P_{2} \cdot P_{3} P_{4} \cdot P_{5} \cdot P_{6} = P_{2} P_{3} \cdot P_{4} P_{5} \cdot P_{6} P_{1}, \end{matrix}

hiszen mindkét oldalon

8 R^{3} \sqrt[]{\frac{r_{1} \cdot ... \cdot r_{6}}{(R - r_{1}) \cdot ... \cdot (R - r_{6})}}

áll.
Ez azonban pontosan azt jelenti, hogy a

P_{1} P_{4}

P_{2} P_{5}

P_{3} P_{6}

húrok egy ponton mennek át. (F. 3009., KöMaL 1994/10, 500. o.)
Hasonló a megoldás akkor is, ha

k_{1}

...

k_{6}

kívülről érinti

k

-t, csak akkor

r_{k}

helyére mindenhol

- r_{k}

-t kell írni.