A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen , ekkor , , és tetszőleges -re | | Ha megmutatjuk, hogy és is egész, ekkor egyrészt és egészek, másrészt, ha és egészek, akkor szükségképpen is egész. Ebből ‐ az -re vonatkozó indukcióval ‐ már következik, hogy minden -re egész. Tegyük fel, hogy (valamilyen -re) , , , valamennyien egészek. Mivel | | azért is egész. Hasonlóan | | miatt egész. A fenti egyenlőségben helyébe -et írva kapjuk, hogy is egész; így (vagy 0) racionális szám. Ennek a racionális számnak az -edik hatványa egész, ami csak úgy lehetséges, ha is egész. Ha , akkor például esetén , egészek lévén racionális, ezért (egész szám -edik gyökeként) egész; így minden -ra is egész. (Hasonlóan járhatunk el esetén is.) A továbbiak során feltehetjük, hogy . Mint láttuk, egész, ezért racionális. Tegyük fel, hogy nem egész, azaz , ahol és egymáshoz relatív prím egészek és . Ekkor ( és) , | | ahol és is relatív prímek. A -ra vonatkozó indukcióval megmutatjuk, hogy minden pozitív egészre , ahol a -hoz relatív prím egész. Valóban, ha és , akkor | | Itt és a -hoz relatív prím, amelyek szorzatához a -val osztható számot adva ismét a -hoz (s így -hoz) relatív prím értéket kapunk. Alkalmazzuk a kapott eredményt -re, eszerint , ellentmondva annak, hogy egész. Tehát is egész.
Valkó Benedek (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) |
|