Kezdőlap


Feladat:	F.3039	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakonyi Zoltán , Bámer Balázs , Braun Gábor , Duzmath Zsolt , Elek Péter , Erdélyi László , Farkas Illés , Fejes Tóth Péter , Hegedűs Viktor , Hegyi Barnabás , Horváth István , Horváth Zoltán , Jerk Balázs , Kardkovács Zsolt Tivadar , Klein Krisztina , Kőrösi Balázs , Kósa Gyula , Kovács Baldvin , Kovács Helga Zita , Lovász Zoltán , Majlender Péter , Makai Márton , Méder Áron , Mihajlik György , Molnár László , Pap Gyula , Pólik Imre , Puskás Zsolt , Radnóti Gergely , Ruzsa Gábor , Sánta Zsuzsa , Siket István , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Szávai Gergely , Szente Márk Zsombor , Szita István , Terpai Tamás , Tóth Gábor Zsolt , Valkó Benedek , Véber Miklós , Vörös Zoltán
Füzet:	1995/május, 283 - 285. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Háromszögek hasonlósága, Elemi függvények differenciálhányadosai, Derékszögű háromszögek geometriája, Parabola egyenlete, Terület, felszín, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/november: F.3039

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az F. 3026. feladatban^{$^{1}$} bebizonyítottuk, hogy a parabola fókuszán átmenő tetszőleges húr végpontjaiban a parabolához húzott érintők merőlegesek egymásra, és metszéspontjuk a vezéregyenesen van. Megmutatjuk, hogy érvényes ennek a tételnek a megfordítása is, éspedig: a parabola egymásra merőleges érintőinek érintési pontjait összekötő húr átmegy a fókuszon.
Legyen a két érintési pont $A$ és $B$ , és ezekben a pontokban a parabolához húzott érintők merőlegesek (1. ábra). Az $A$ -ba húzott érintő messe a vezéregyenest a $P$ pontban, az $A F$ egyenes messe a parabolát a $B'$ -ben. A 3026. feladat állítása szerint $B'$ -ben a parabolához húzott érintő az $A P$ érintőt $P$ -ben metszi, és a két érintő merőleges egymásra. Mivel a $B$ -ben a parabolához húzott érintő is merőleges $A P$ -re, azért $B \equiv B'$ , ugyanis egy parabolának nincsen két egymással párhuzamos érintője. (Ez következik pl. abból, hogy a másodfogú függvények deriváltja szigorúan monoton.) Ezután felhasználhatjuk, hogy a két érintő érintési pontjait összekötő szakasz átmegy $F$ -en, továbbá az érintők a vezéregyenesen metszik egymást, és merőlegesek. A 2. ábra jelöléseit használva $A F = A D$ , és ismeretes, hogy az $A P$ érintő felezi az $F A D$ szöget. Ezért $A D P ▵ ≅ A F P ▵$ , amiből következik, hogy $A F P ∢ = 90^{\circ}$ . Azt is láthatjuk, hogy $a^{2} + b^{2} = A B^{2}$ , ezért a bizonyítandó állítás:

\begin{matrix} a^{4} b^{4} = A B^{6} . \end{matrix}

(1)

A P B ▵

kétszeres területe:

2 t = a \cdot b = A B \cdot P F

, amiből

{(2 t)}^{4} = a^{4} b^{4} = A B^{4} \cdot P F^{4}

. Ennek és (1)-nek alapján az igazolandó állítás így írható:

A B^{4} \cdot P F^{4} = A B^{6}

, azaz

\begin{matrix} P F^{2} = A B . \end{matrix}

Ennek igazolásához írjuk fel az

A B P

derékszögű háromszögben a magasságtételt:

P F^{2} = A F \cdot F B

. Mivel

A B = A F + F B

, elég azt belátnunk, hogy

\begin{matrix} A F \cdot F B = A F + F B . \end{matrix}

Ez az egyenlet így is írható:

(A F - 1) (F B - 1) = 1

, ami a parabola definícióját is fölhasználva:

\begin{matrix} (A D - 1) (B C - 1) = 1. \end{matrix}

(2)

Legyen

A

, illetve

B

első koordinátája

x_{1}

, ill.

x_{2}

. Ekkor

A D = \frac{1}{4} x_{1}^{2} + 1

B C = \frac{1}{4} x_{2}^{2} + 1

, hiszen a vezéregyenes egyenlete

y = - 1

A D

és

B C

így kiszámított kifejezéseit (2)-be helyettesítve a bizonyítandó állítás:

\begin{matrix} \frac{1}{16} x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} = 1. \end{matrix}

(3)

y = \frac{1}{4} x^{2}

függvény deriváltja

y' = \frac{1}{2} x

, ezért az

A

pontba húzott érintő iránytangense

\frac{1}{2} x_{1}

, a

B

pontbelié

\frac{1}{2} x_{2}

. A két érintő merőleges, ezért

\frac{1}{4} x_{1} \cdot x_{2} = - 1

. Ezt négyzetre emelve a bizonyítandó állítással ekvivalens (3) egyenlőséget kapjuk.

Valkó Benedek (Fazekes M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.)

Megjegyzés. Hivatkoztunk az

y = \frac{1}{4} x^{2}

függvény deriváltjára, illetve iránytangensére. Elemi úton is megmutatható, hogy az

y = a \cdot x^{2}

egyenletű parabola

x_{0}

pontbeli érintőjének iránytangense

m = 2 a \cdot x_{0}

. (Bizonyítása megtalálható pl. Bogdán Zoltán: Matematikai feladatok ‐ ötletek ‐ megoldások c. könyv 43. oldalán.)

^{$^{1}$}A KöMaL 1995/3 számának 149. oldalán