|
Feladat: |
F.3037 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Endrődi Csilla , Farkas Illés , Farkas Péter , Galácz Ábel , Kardkovács Zsolt Tivadar , Krajcsovicz Éva , Lovász Zoltán , Molnár László , Sánta Zsuzsa |
Füzet: |
1995/május,
280 - 282. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Körök, Thalesz tétel és megfordítása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/november: F.3037 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Legyen a körszeletekbe írt körök területe , ill. . Thalész tétele szerint . Ezt felhasználva | | A számtani és a négyzetes közép közötti egyenlőtlenség szerint ezért | |
Ebből láthatjuk, hogy a területösszeg -nél nem lehet kisebb. Ezt az értéket föl is veszi, ha , azaz ha felezi az ívet. A háromszögegyenlőtlenség szerint minden lehetséges -re, ezért -nek maximuma csak az elfajuló esetben lehetne, amit a feladat szövege kizár. Maximum tehát nincs, csak legkisebb felső korlát: . Az elfajuló esetben , vagy fordítva.
Farkas Péter (Budapest, Szent István Gimn., IV. o.t.) és |
Lovász Zoltán (Bonyhád, Perczel Mór Közg., Szki., IV. o.t.) dolgozatai alapján |
II. megoldás. Vegyük figyelembe, hogy egy kör területe ugyanakkor a legnagyobb vagy legkisebb, amikor a kerülete. Ezért szélsőértékeit kereshetjük. A megoldást az (1) egyenlőtlenség alapján az I. megoldáshoz hasonlóan kapjuk.
Kardkovács Zsolt Tivadar (Budapest, Károlyi M. Gimn., IV. o.t.) |
III. megoldás. Az ábrán az -vel párhuzamos érintő és a -vel párhuzamos érintő a pontban metszi egymást. Nyilván az , tehát -ból az átmérőjű kör -os szögben látszik. Ezért állandó, de akkor is állandó. Az ábráról láthatjuk, hogy , tehát ugyanakkor minimális, amikor . Ez akkor és csak akkor következik be, ha illeszkedik -ra, vagyis ha az ív felezőpontja. Hasonlóan látható, hogy akkor (lenne) a legnagyobb, ha érinti a kört, azaz vagy , vagyis vagy .
Megjegyzések. 1. Lovász Zoltán megmutatta, hogy a két beírt kör területének összege akkor is az egyenlő szárú háromszög esetén lesz minimális, ha helyett egy tetszőleges húrt veszünk. 2. Farkas Péter helyett a , , , pontokkal részre osztotta az félkörívet. Bebizonyította, hogy az így keletkezett körszeletbe írt maximális érintő körök területének összege akkor minimális, ha .
|
|