Kezdőlap


Feladat:	C.378	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bucsu Péter , Czibolya Ferenc , Dezső Andrea , Dezső Zsuzsanna , Fodor 421 Tamás , Gócza Katalin , Guzmics Melinda , Gyetván Dániel , Kerekes István , Ledzényi András , Mánya Virág , Müller Tamás , Pál Andrea , Sarlós Ferenc , Szabadszállási Tibor , Szilágyi Dániel , Szilágyi Judit , Tompa Nagyesda
Füzet:	1995/május, 274. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Abszolútértékes egyenletek, Logaritmusos egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/december: C.378

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A logaritmus definíciója szerint $lg x$ akkor van értelmezve, ha $x > 0$ .
A gyökjel alatt álló kifejezés $lg^{2} x + 2 lg x + 1 = {(lg x + 1)}^{2}$ alakban írható, amely mindig nemnegatív, így a négyzetgyökvonásnak mindig van értelme. A megoldást tehát a pozitív számok halmazán keressük.
Definíció szerint $\sqrt[]{a^{2}} = | a |$ . Ezt felhasználva (1) így írható:

\begin{matrix} | lg x + 1 | = - (lg x + 1) . \end{matrix}

Mivel

| a | = + a

, ha

a \geq 0

, és

- a

, ha

a < 0

, két esetet kell megkülönböztetni.
1. Ha

lg x + 1 \geq 0

, akkor az egyenlet

\begin{matrix} lg x + 1 = - lg x - 1, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} lg x = - 1, x = \frac{1}{10} . \end{matrix}

Helyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy ez valóban gyök.
2. Ha

lg x + 1 < 0

, akkor egyenletünk

\begin{matrix} - (lg x + 1) = - (lg x + 1) . \end{matrix}

Azonossághoz jutottunk ‐ feltéve, hogy a kiindulási egyenlőtlenségünk (

lg x + 1 < 0

) teljesül. Azaz

lg x < - 1

, amiből

0 < x < \frac{1}{10}

adódik.
A megoldás tehát:

0 < x \leq \frac{1}{10}

Mánya Virág (Siófok, Perczel M. Gimn., III. o.t.)