Kezdőlap


Feladat:	C.371	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Auffenberg Noémi , Benkó Tamás , Borbély Eszter , Borsi Zsolt , Csapó Adrián , Császár Miklós , Csatári Márta , Csathó Béla Zoltán , Danczik Edit , Dárdai Balázs , Erdélyi Szabolcs , Fazekas Péter , Fekete Attila , Firkó Tünde , Frigy Edit , Gergelics Natália , Gyarmati Csaba , Hajdú Viktória , Kaszás Eszter , Kiss András , Kondor József , Márkus Erika , Márton Izabella , Moldoványi Nóra , Nagy Andrea , Nagy Márton , Némedi Richárd , Németh László , Pál János , Péntek Gabriella , Péterszegi Csilla , Polgár Csaba , Poronyi Gábor , Sarlós Ferenc , Sebestyén Dezső , Sindely 576 Dániel , Svéger Erzsébet , Székely Nóra , Szekszárdi Éva , Vaik Zsuzsanna , Végh László , Zöldy Balázs
Füzet:	1995/május, 270 - 272. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Körérintési szerkesztések, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/október: C.371

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a körök középpontjai a háromszög csúcsai, eleve nem lehetséges, hogy mindhárom kör belülről érintkezzen, vagy hogy két kör belülről érintkezik, s a harmadik ezeket kívülről érintse, mert akkor a körök középpontjai egy egyenesen lennének.
Marad tehát a következő két eset:
I.: amikor a három kör kívülről érinti egymást,
II.: amikor két kör kívülről érintkezik, s ezek a harmadikat belülről érintik.
I. eset. Jelölje az $A$ , a $B$ , illetve a $C$ pont köré írt kör sugarát rendre $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ (1. ábra). Tudjuk, hogy az érintési pontok a háromszög oldalain vannak, ezért (a szokásos jelölésekkel)

\begin{matrix} \begin{matrix} r_{1} + r_{2} & = c, \\ r_{2} + r_{3} & = a, \\ r_{3} + r_{1} & = b . \end{matrix} \end{matrix}

Az egyenleteket összeadva

r_{1} + r_{2} + r_{3} = \frac{a + b + c}{2}

, ahonnan

a

b

és

c

ismeretében meghatározhatjuk a körök sugarait. Elegendő egy kör sugarát, pl.

r_{1}

-et megszerkeszteni

\begin{matrix} r_{1} = \frac{a + b + c}{2} - (r_{2} + r_{3}) = \frac{a + b + c}{2} - a = \frac{b + c - a}{2} . \end{matrix}

Mivel

b + c > a

(a háromszög-egyenlőtlenség miatt),

r_{1} > 0

. Ennek ismeretében a szerkesztés könnyen elvégezhető.
II. eset. Az előző jelöléseket megtartva az

r_{1}

és

r_{2}

sugarú körök kívülről érintkeznek, míg az

r_{3}

sugarú kört belülről érintik (2. ábra).
Az érintő körök középpontjai és érintési pontjuk egy egyenesen, a körök centrálisán van, így felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} a + r_{2} & = r_{3}, \\ b + r_{1} & = r_{3}, \\ c & = r_{1} + r_{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Innen

r_{3} = \frac{a + b + c}{2}

. Az

r_{3}

ismeretében a köröket meg tudjuk szerkeszteni. Ezúttal három különböző megoldás van aszerint, hogy a belülről érintő kör középpontja az

A

B

vagy a

C

csúcs. A másik kettőt magába záró kör sugara mindhárom esetben

\frac{a + b + c}{2}

Megjegyzés. A megoldók egy részének dolgozata hiányos, mert nem vizsgálták az összes lehetséges esetet. Szöveg nélküli ábrák ‐ bármennyire is mutatják, hogy a megoldó helyesen gondolkodott ‐ hiányos megoldásnak minősülnek.