Kezdőlap


Feladat:	N.42	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Burcsi Péter , Gyarmati Katalin , Izsák Ferenc , Tóth Gábor Zsolt
Füzet:	1995/április, 225 - 226. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Számsorozatok, Természetes számok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/október: N.42

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $1$ -es szám már egyetlen 4-es segítségével is előállítható: $1 = [\sqrt[]{\sqrt[]{4}}]$ . A továbbiakban ezért szabályosnak tekinthetünk minden olyan előállítást, amelyben a megengedett műveleteken kívül 4-esek és 1-esek szerepelnek, összesen legfeljebb három darab.
Tekintsük a megengedett módon előállítható (általában nem egész)

\begin{matrix} \frac{4}{\sqrt[]{4} - 1} < \frac{4}{\sqrt[4]{4} - 1} < \frac{4}{\sqrt[8]{4} - 1} < ... \end{matrix}

(1)

számokat. Ebben a végtelenhez tartó sorozatban minden tag legfeljebb az előtte levőnek a háromszorosa lehet. Jelöljük a

\sqrt[2 k]{4}

-et

A

-val, ekkor a bizonyítandó egyenlőtlenség

\frac{4}{A - 1} \leq 3 \cdot \frac{4}{A^{2} - 1}

, ami

A > 1

miatt

A + 1 \leq 3

alakba írható, ez pedig nyilván igaz.
Legyen ezután

n

egy 2-nél nagyobb, előállítandó egész szám. Olyan

t

pozitív egészet keresünk, amelyre

\begin{matrix} 3 n^{2^{t}} < {(n + 1)}^{2^{t}} \end{matrix}

(2)

teljesül. A (2) fennállása esetén ugyanis az (1) sorozatnak ‐ a bizonyított egyenlőtlenség miatt ‐ létezik az

[n^{2^{t}}, {(n + 1)}^{2^{t}})

intervallumba eső eleme, és abból

t

-szer négyzetgyököt vonva olyan számot kapunk, amelynek

n

az egészrésze.
Megmutatjuk, hogy

t = n

kielégíti (2)-t. Könnyen látható (például az

n

-re vonatkozó indukcióval), hogy

n < 2^{n - 1}

, ezért

\begin{matrix} \begin{matrix} {(n + 1)}^{2^{n}} = n^{2^{n}} + 2^{n} \cdot 2^{2^{n} - 1} + ... \geq n^{2^{n}} + 2^{n} \cdot n^{2^{n} - 1} \geq \\ \geq n^{2^{n}} + 2 n \cdot n^{2^{n} - 1} = 3 n^{2^{n}} . \end{matrix} \end{matrix}

Ezzel a feladatot minden

2

-től különböző természetes számra megoldottuk. A

2

előállítása:

2 = \sqrt[]{4}

Megjegyzések. 1. Amint az a megoldásból látható, az összeadás és szorzás művelete nem szükséges a kívánt előállításokhoz, és az egészrészképzést is minden számnál legfeljebb csak kétszer kell használni.
2. A ,,legfeljebb három darab 4-es'' kikötés módosítható arra, hogy három adott, 1-nél nagyobb számot használhatunk, mindegyiket legfeljebb egyszer.

Izsák Ferenc (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., IV. o.t.)