A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az -es szám már egyetlen 4-es segítségével is előállítható: . A továbbiakban ezért szabályosnak tekinthetünk minden olyan előállítást, amelyben a megengedett műveleteken kívül 4-esek és 1-esek szerepelnek, összesen legfeljebb három darab. Tekintsük a megengedett módon előállítható (általában nem egész) számokat. Ebben a végtelenhez tartó sorozatban minden tag legfeljebb az előtte levőnek a háromszorosa lehet. Jelöljük a -et -val, ekkor a bizonyítandó egyenlőtlenség , ami miatt alakba írható, ez pedig nyilván igaz. Legyen ezután egy 2-nél nagyobb, előállítandó egész szám. Olyan pozitív egészet keresünk, amelyre teljesül. A (2) fennállása esetén ugyanis az (1) sorozatnak ‐ a bizonyított egyenlőtlenség miatt ‐ létezik az intervallumba eső eleme, és abból -szer négyzetgyököt vonva olyan számot kapunk, amelynek az egészrésze. Megmutatjuk, hogy kielégíti (2)-t. Könnyen látható (például az -re vonatkozó indukcióval), hogy , ezért | | Ezzel a feladatot minden -től különböző természetes számra megoldottuk. A előállítása: .
Megjegyzések. 1. Amint az a megoldásból látható, az összeadás és szorzás művelete nem szükséges a kívánt előállításokhoz, és az egészrészképzést is minden számnál legfeljebb csak kétszer kell használni. 2. A ,,legfeljebb három darab 4-es'' kikötés módosítható arra, hogy három adott, 1-nél nagyobb számot használhatunk, mindegyiket legfeljebb egyszer.
Izsák Ferenc (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., IV. o.t.) |
|
|