|
Feladat: |
F.3035 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Braun Gábor , Elek Péter , Erdélyi László , Farkas Illés , Kovács Baldvin , Kováts Antal , Rozmán András , Ruzsa Gábor , Séllei Béla , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Szőke Ervin , Valkó Benedek , Varga Tamás , Véber Miklós |
Füzet: |
1995/április,
219 - 222. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Sorozat határértéke, Rekurzív sorozatok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/november: F.3035 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha , akkor a sorozat definíciója értelmetlen. Ha , akkor a sorozat minden eleme pozitív ( pozitív, és a rekurzió alapján pozitivitásából következik pozitivitása is). Ha , akkor a sorozat minden eleme negatív. Ezekben az esetekben tehát a rekurzió értelmes. Az esetszétválasztások elkerülése érdekében legyen . A kérdés az, hogy az sorozat tetszőleges pontossággal megközelíti-e az -et (azaz ). Azt állítjuk, hogy az sorozatra a következő rekurzió teljesül: | | (2) | Az első állítás egyszerűen következik definíciójából. A másodikhoz írjunk (1)-ben helyére -et, helyére -et: Ezt -val osztva éppen (2)-t kapjuk. (Észrevehető, hogy a feladatot tulajdonképpen az esetre vezettük vissza.) Mielőtt a konvergencia bizonyításához hozzákezdenénk, először az sorozat elemeire bizonyítunk két becslést. I. Az sorozat minden eleme pozitív. Ez következik az első elem pozitív voltából. II. Ha , akkor . A rekurzió, valamint a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség alapján ugyanis | |
Vizsgáljuk meg, mi az összefüggés és 1-től való távolsága között. A rekurzió alapján | |
Ha , akkor , ezért és | | Mindezek alapján pedig | |
Ebből az eredményből teljes indukcióval azonnal bebizonyítható, hogy esetén A jobb oldalon álló mértani sorozat 0-hoz tart, mert a hányadosa 1-nél kisebb abszolút értékű, következésképpen is 0-hoz tart, 1-hez, végül -hoz tart. Az sorozat tehát -hoz tart minden olyan esetben, amikor .
Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., II. o.t.) |
Megjegyzések. 1. Ha már ,,közel'' van az 1-hez, akkor a hiba minden lépésnél körülbelül a felére csökken, mert értéke is körülbelül 1. Ez a ,,sebesség'' még mindig sokkal kisebb, mint a négyzetgyökvonáshoz használt rekurzió sebessége, ahol (kis hiba esetén) a hiba minden lépésben körülbelül az előző hiba négyzetének (!) felére csökken. Ez azt is jelenti, hogy a sorozat következő tagjának legalább kétszer annyi helyes jegye van. 2. Ha -adik gyököt () akarnánk vonni az rekurzióval, érdekes eredményre jutnánk. Ez a sorozat ugyanis -re még konvergens (bár a konvergencia nagyon lassú), esetén azonban már mindig divergens, kivéve azt az esetet, amikor . 3. Tegyük fel, hogy és ,,kicsi'' abszolút értékű. Ekkor | | (A jel azt jelenti, hogy a két mennyiség különbsége sokkal kisebb, mint .) A kapott közelítéshez -t hozzáadva, majd ebből -t kifejezve: Ez az eredmény azt mutatja, hogy inkább érdemes az rekurziót használni. Be lehet bizonyítani, hogy az így felírt sorozat -hoz tart, és a helyes jegyek száma minden iterációnál megduplázódik. A két sorozat konvergencia-sebessége közötti különbség szemléltetésére álljanak itt azok az értékek, amelyeket köbgyökének becslésére adnak:
| |
4. Általában -adik gyökvonásra használható az rekurzió. Ennek a rekurziónak megvan az a jó tulajdonsága, hogy a sorozat elemei a második elemtől kezdve nagyobbak -nál, monoton fogynak, a helyes jegyek száma minden lépésben körülbelül megduplázódik.
|
|