Feladat: Gy.2947 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Cseke Zsuzsa ,  Csordás Péter ,  Czirok Levente ,  Deli Tamás ,  Dulai Tibor ,  Fejős Ibolya ,  Fodor Bea ,  Frenkel Péter ,  Hangya Balázs ,  Juhász András ,  Katona Zsolt ,  Kiss László ,  Laczó Tibor ,  Less Áron ,  Lippner Gábor ,  Lőrincz Ildikó ,  Molnár-Sáska Balázs ,  Németh Balázs ,  Nyakas Péter ,  Nyul Gábor ,  Pap Gyula ,  Papp Beáta Andrea ,  Pintér Dömötör ,  Poór Judit ,  Reviczky Ágnes ,  Serény András ,  Simon Barna ,  Terpai Tamás ,  Varga Péter ,  Vincze László ,  Visontai Mirkó ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1995/április, 216 - 217. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinatorikus geometria síkban, Kombinatorikai leszámolási problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/november: Gy.2947

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük ai-vel az összekötési lehetőségek számát abban az esetben, amikor a félsík határoló egyenesén i pont van megadva. Feladatunk ekkor a10 meghatározása. Az egyenesen valamelyik irányban haladva számozzuk meg a pontokat 1-től 10-ig. Két összekötött pont között nem lehet páratlan sok pont, mert akkor azokat nem tudnánk a feltételeknek megfelelően párokba állítani. Ezért a10-et úgy írhatjuk fel, hogy megkülönböztetjük azokat az eseteket, amikor az első pont a másodikkal, a negyedikkel, a hatodikkal, a nyolcadikkal vagy a tizedikkel van összekötve.
Ha az első a másodikkal van összekötve, akkor a többi nyolc pontot a8 féleképpen állíthatjuk párba. Ha az első a negyedikkel van összekötve, akkor az 1. és a 4. pont között lévő pontok összekötési lehetőségeinek számát ‐ két összekötött pont között lévő pontok csak egymással köthetők össze ‐ kell szoroznunk a maradék hat pont összekötési lehetőségeinek számával: a2a6. Hasonló okoskodással a másik három esetben a lehetőségek száma a4a4,  a6a2 és a8. Tehát:

a10=a8+a2a6+a4a4+a6a2+a8.
Ugyanígy kapjuk, hogy
a8=a6+a2a4+a4a2+a6,a6=a4+a2a2+a4,a4=a2+a2.
Nyilvánvaló, hogy két pontot egyféleképpen lehet párba állítani, ezért a2=1. Ezt behelyettesítve a4=2,  a6=5,  a8=14 és végül a10=42.
Tehát a párba állítási lehetőségek száma: 42.
 
Megjegyzés. Általában igaz, hogy a2n=a2n-2+a2n-4a2+...+a2n-2. Ennek segítségével az is igazolható, hogy a2n=1n+1(2nn).
 Katona Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., I. o.t.)