Feladat: Gy.2946 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Lipusz Gabriella ,  Pintér Dömötör ,  Zubcsek Péter Pál 
Füzet: 1995/április, 216. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Háromszög területe, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/november: Gy.2946

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a C. 375 gyakorlat a Gy. 2946. speciális esete n=3-ra, csak az általánosabb megoldást közöljük.
Legyen az XAY háromszög A-ból induló szögfelezője AF (1. ábra). Ha pl. XAYA, akkor tükrözzük X-et az AF-re: az AY szakasz egy X' pontját kapjuk. Az AXF, AX'F háromszögek egybevágók, így AF pontosan akkor felezi az XAY háromszög területét, ha X'=Y, azaz a háromszög egyenlő szárú, azaz AF merőleges XY-ra.
Tekintsük ezután az ABC háromszög A-nál fekvő szögének AF1, ..., AFn-1
n-edelőit (2. ábra). Ha ezek n egyenlő részre osztják a háromszög területét, akkor rendre AF1, ..., AFn-1 felezi a BAF2, ..., Fn-2AC háromszög területét. Előbbi észrevételünk szerint ez azt jelenti, hogy az AFi szakaszok mindegyike merőleges a BC oldalra, ami viszont (nem elfajuló háromszögben) lehetetlen. A feladat által kérdezett háromszög tehát semmilyen n>2 esetén nem létezik.

 Stubnya Gábor (Pécs, Janus Pannonius Gimn., I. o.t.) és
 
 Pintér Dömötör (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., II. o.t.) megoldásai alapján

 
Megjegyzés. Ha n=2, akkor az egyenlő szárú háromszögek szárszögének felezője két egyenlő területű részre osztja a háromszöget. Nem egyenlő szárú háromszögnél viszont a szögfelező sosem felezi a területet.