|
Feladat: |
Gy.2945 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Burcsi Péter , Deli Tamás , Fazekas Zoltán , Formanek Csaba , Frenkel Péter , Gröller Ákos , Gyukics Mihály , Gyurkó L. Gergely , Havasi Ferenc , Jeszenszky Gyula , Kardos Gergely , Katona Zsolt , Király Csaba , Kovács András , Kovács Baldvin , Kozma Róbert , Kurucz Zoltán , Lippner Gábor , Lolbert Tamás , Madarász József , Makai Márton , Nyakas Péter , Nyul Gábor , Orbán András , Pap Gyula , Peltz Csaba , Puskás Péter , Rozmán András , Ruzsa Gábor , Szabó Gábor , Szőke Ervin , Terpai Tamás , Tóth Gábor Zsolt , Tóth Péter , Ugron Balázs , Urbancsek Tamás , Véber Miklós , Vörös Zoltán , Übelhart István , Zubcsek Péter Pál |
Füzet: |
1995/április,
214 - 215. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Indirekt bizonyítási mód, Számsorozatok, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/november: Gy.2945 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha természetes szám, akkor , és így . Az sorozat tehát monoton növő, vagyis az állítás pontosan akkor teljesül, ha a sorozat valahonnan kezdve konstans. Ez viszont akkor lép föl, ha a sorozat valamely elemére, mondjuk -ra, , ami azt jelenti, hogy jegyei között van nulla. Azt kell tehát igazolni, hogy a sorozat elemei között előbb-utóbb előfordul egy ilyen tulajdonságú. Tegyük föl indirekt módon, hogy nincs ilyen, így a sorozat nem lesz konstans, azaz tetszőlegesen nagy értéket felvesz. Vizsgáljuk azokat az elemeket, amelyekre több jegyből áll, mint : Ekkor legfeljebb jegyből áll, ezért , azaz . Ha belátjuk, hogy valamely esetén akkor készen vagyunk, hiszen ez azt jelenti, hogy második jegye nulla, ami ellentmondás. Mivel már a választása miatt fennáll, továbbá , azért elegendő azt megmutatni, hogy átrendezve fennáll. Belátjuk, hogy ez esetén teljesül. (Valójában már esetén is, de ezt nehézkesebb igazolni, s a feladat szempontjából lényegtelen.) Ekkor készen leszünk, hiszen indirekt feltevésünk szerint a sorozat tetszőlegesen nagy értéket felvesz, vagyis található olyan , amelyhez 24-nél nagyobb tartozik. | | valamint | | Ezek szerint | | Minthogy , ezért ha , akkor . Ezzel az állítást beláttuk.
Nyul Gábor (Debrecen, Fazekas M. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján |
|
|