|
Feladat: |
Gy.2944 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: könnyű |
Megoldó(k): |
Bakonyi Gábor , Bérczi Gergely , Deli Tamás , Györkei Györgyi , Horváth Gábor , Jenei Piroska , Katona Zsolt , Kőműves Balázs , Less Áron , Lippner Gábor , Lipusz Gabriella , Lukács Gyula , Németh Balázs , Pap Gyula , Pogány Ádám , Reviczky Ágnes , Szabó Gábor , Szántó Richárd , Varga Péter , Végh László , Visontai Mirkó |
Füzet: |
1995/április,
213 - 214. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/november: Gy.2944 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A két szorzatot csoportosítsuk a következő módon: | |
A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség szerint | | azaz . A zárójelben levő szorzat pedig | | vagyis a két egyenlőtlenség összeszorozva (minden tényező pozitív) adódik.
Kőműves Balázs (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján |
II. megoldás. Általánosabban, -t és -t hasonlítjuk össze. Mindkét kifejezés tényezős szorzat. Az , 2 esetekben látható, hogy . Legyen . Vizsgáljuk meg az törtet. Bontsuk föl tört szorzatára: | | Az első tört nagyobb 1-nél, az -edik éppen 1, a többi pedig kisebb 1-nél. Állítsuk ezeket párba: | | végül pár nélkül. Felírva a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget -ra és -ra (): azaz . Tehát az elsőt kivéve minden párban a tényezők szorzata 1-nél nagyobb. Vizsgáljuk külön a kimaradó első párt: nézzük meg, hogy milyen -re lesz tényezőinek szorzata 1-nél nagyobb. Ekvivalens átalakításokat végezve (felhasználva persze, hogy ) | | Ha tehát , akkor minden pár szorzata 1-nél nagyobb, és így . Az esetben pedig , azaz minden egészre
Katona Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., I. o.t.) dolgozata alapján |
|
|