Kezdőlap


Feladat:	Gy.2939	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Gergely , Deli Tamás , Havas Dávid , Nyul Gábor , Zubcsek Péter Pál
Füzet:	1995/április, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometria, Terület, felszín, Paralelogrammák, Téglalapok, Szinusztétel alkalmazása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/október: Gy.2939

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a paralelogramma csúcsait $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel, szögeit $2 α$ -val és $2 β$ -val, oldalainak hosszát $a$ -val és $b$ -vel, a szögfelezők által meghatározott négyszög csúcsait pedig $E$ , $F$ , $G$ , $H$ -val. Feltehetjük, hogy $a > b$ (ha két szomszédos oldal egyenlő lenne, akkor a szögfelezők nem határoznak meg négyszöget, hanem egy pontban metszenék egymást).
Tudjuk, hogy $2 α + 2 β = 180^{\circ}$ , mert a paralelogramma szomszédos szögeinek összege $180^{\circ}$ . Az $A E D$ háromszögben

\begin{matrix} A E D ∢ = 180^{\circ} - (E A D ∢ + E D A ∢) = 180^{\circ} - (α + β) = 90^{\circ} . \end{matrix}

Ezért

H E F ∢ = A E D ∢ = 90^{\circ}

. Ugyanígy láthatjuk be, hogy az

E F G H

négyszög többi szöge is derékszög, tehát a négyszög téglalap.

E

D

-ből és az

A

-ból induló szögfelezők metszéspontja, ezért egyenlő távolságra van a

C D

D A

és az

A B

egyenesektől. Tehát

E

rajta van a paralelogramma

A B

-vel és

C D

-vel párhuzamos középvonalán. Ugyanígy belátható, hogy

G

is rajta van ezen a középvonalon, tehát

E G