Kezdőlap


Feladat:	Gy.2937	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kovács Baldvin
Füzet:	1995/április, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Számsorozatok, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/október: Gy.2937

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítást $n$ -re vonatkozó teljes indukcióval bizonyítjuk. Az $n = 1$ esetben az $S = a_{1}$ választás megfelelő. Tekintsük most az indukciós lépést: tegyük föl, hogy az állítás igaz tetszőleges, a feltételeket kielégítő $b_{1}$ , $b_{2}$ , $...$ , $b_{n}$ sorozatra, és ezt felhasználva igazoljuk $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{n} + 1$ -re.
Mivel

\begin{matrix} a_{2} \leq a_{3} \leq 2 a_{2}, ..., a_{n} \leq a_{n + 1} \leq 2 a_{n}, \end{matrix}

azért a

\begin{matrix} b_{1} = a_{2}, b_{2} = a_{3}, ..., b_{n} = a_{n + 1} \end{matrix}

sorozat kielégíti a feltételeket, s így az indukció szerint létezik olyan

\begin{matrix} S' = \pm a_{2} \pm ... \pm a_{n + 1} \end{matrix}

előjelezése, amelyre

\begin{matrix} 0 \leq S' \leq a_{2} \end{matrix}

teljesül. Felhasználva az

a_{2} \leq 2 a_{1}

feltételt,

\begin{matrix} 0 \leq S' \leq 2 a_{1} \end{matrix}

majd

\begin{matrix} - a_{1} \leq S' - a_{1} \leq a_{1} \end{matrix}

adódik.
Ha

S' - a_{1} \geq 0

, akkor

a_{1}

előjelét negatívnak, a többi tagét az

S'

-belivel megegyezőnek választva, az

n + 1

tagú összeg egy megfelelő előjelezését kapjuk. Ha

S' - a_{1} < 0

, akkor

a_{1}

előjelét pozitívnak, a többiét pedig az

S'

-belivel ellentétesnek választjuk. Ekkor az összeg

a_{1} - S'

lesz, ami legfeljebb

a_{1}

, azaz ismét találtunk egy alkalmas előjelezést. Ezzel az indukciós lépést befejeztük, amivel maga az állítás is bizonyítást nyert.

Kovács Baldvin (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., III.o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Látható, hogy a bizonyítás során az

a_{i} \leq a_{i + 1}

típusú feltételekre nem is volt szükség, a tagok pozitivitására viszont igen: ezt már az

a_{1} = 1

a_{2} = - 5

példa is mutatja.