Kezdőlap


Feladat:	Gy.2936	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ács Krisztina , Bárány Kristóf , Barát Anna , Deli Tamás , Farkas Zoltán , Fazekas Borbála , Gáspár László , Gönczi Orsolya , Hartmann Miklós , Horváth Gábor , Juhász András , Karádi Richárd , Kispál István , Kiss László , Kőhalmi Dóra , Kónya Ágnes , Krizsán Árpád , Laczó Tibor , Lippner Gábor , Lukács Gyula , Mátyás Péter , Molnár-Sáska Balázs , Nyakas Péter , Nyilas Gábor , Nyul Gábor , Pap Gyula , Papp Ágnes , Papp Beáta Andrea , Papp Eszter , Patakfalvi Zsolt , Sólyom László , Szabados Péter , Szabó Gábor , Szabó Jácint , Szita István , Terpai Tamás , Varga Péter , Végh László , Volf Barna , Zakariás Ildikó , Zámbó Tibor , Zubcsek Péter Pál , Ötvös Gergely
Füzet:	1995/április, 206 - 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/október: Gy.2936

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett szám $\bar{a_{5} a_{4} a_{3} a_{2} a_{1} a_{0}}$ . Ha az $i$ -edik és $j$ -edik jegyek ( $i > j$ ) felcserélésével kapott számot kivonjuk az eredetiből, akkor a különbség

\begin{matrix} 10^{i} a_{i} + 10^{j} a_{j} - 10^{j} a_{i} - 10^{i} a_{j} = (10^{i} - 10^{j}) (a_{i} - a_{j}) = 2^{j} \cdot 5^{j} \cdot 9 \cdot ({\underset{︸}{11 ... 1}}_{i - jdarab}^{}) (a_{i} - a_{j}) \end{matrix}

(1)

i - j

darab egyesből álló szám a következő lehet:

\begin{matrix} \begin{matrix} i = j + 1 & 1 \\ i = j + 2 & 11 \\ i = j + 3 & 111 = 3 \cdot 37 \\ i = j + 4 & 1111 = 11 \cdot 101 \\ i = j + 5 & 11111 = 41 \cdot 271 \end{matrix} \end{matrix}

(2)

Vizsgáljuk meg, hogyan jöhetnek létre a kívánt tulajdonságú különbségek! Tekintsük először a

2168 = 2^{3} \cdot 271

-gyel oszthatót. Az (1) felbontást használjuk. Mivel valódi különbségről van szó és

| a_{i} - a_{j} | < 10

, azért csak

i = j + 5

, azaz

i = 5

j = 0

esetén lehet a különbség osztható 271-gyel. Ekkor viszont

8 ∣ a_{i} - a_{j}

, ami a következő esetekben lehetséges (

a_{0} \neq a_{5}

, mert nemnulla különbségeket tekintünk, és

a_{5} \neq 0

, mert valódi hatjegyű számot keresünk):

\begin{matrix} \bar{8 a_{4} a_{3} a_{2} a_{1} 0}, \bar{9 a_{4} a_{3} a_{2} a_{1} 1}, \bar{1 a_{4} a_{3} a_{2} a_{1} 9} . \end{matrix}

Nézzük most a

2525 = 5^{2} \cdot 101

-et: a 101-gyel való oszthatóság csak az 1111-ből származhat, tehát (2) alapján

i = j + 4

. Az

i = 4

j = 0

esetben

25 ∣ a_{i} - a_{j}

kellene fennálljon, ami lehetetlen, ezért

i = 5

j = 1

és

5 ∣ a_{1} - a_{5}

. A lehetőségek:

\begin{matrix} \bar{8 a_{4} a_{3} a_{2} 30}, \bar{9 a_{4} a_{3} a_{2} 41}, \bar{1 a_{4} a_{3} a_{2} 69} . \end{matrix}

6875 = 5^{4} \cdot 11

esetben csak

j \geq 3

lehet, hiszen

a_{i} - a_{j}

5-nek legfeljebb első hatványával lehet osztható. A 11-gyel való oszthatóság miatt

i - j = 2

vagy 4, ami a

j \geq 3

feltétellel együtt az

i = 5

j = 3

esethez vezet. Ekkor még

5 ∣ a_{3} - a_{5}

is szükséges, azaz a számok:

\begin{matrix} \bar{8 a_{4} 3 a_{2} 30}, \bar{9 a_{4} 4 a_{2} 41}, \bar{1 a_{4} 6 a_{2} 69} . \end{matrix}

4375 = 7 \cdot 5^{4}

-t vizsgálva az előző esethez hasonlóan

j \geq 3

adódik. Mivel 7-tel csak

a_{i} - a_{j}

lehet osztható, azért a

j = 3

kizárható: ekkor ugyanis

35 ∣ a_{i} - a_{j}

-nek kellene fennállnia.
Marad a

j = 4

i = 5

eset, valamint

7 ∣ a_{4} - a_{5}

\begin{matrix} \bar{813 a_{2} 30}, \bar{924 a_{2} 41}, \bar{186 a_{2} 69} . \end{matrix}

Tudjuk még azt is, hogy a számnak van 7-es jegye is, ez mindhárom esetben csak az

a_{2}

lehet. A 9-cel oszthatóságot a három számból kizárólag a

924741

teljesíti, vagyis ez az egyedüli lehetséges szám. Erről viszont azt is láttuk már, hogy valóban megfelelő.

Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján