|
Feladat: |
Gy.2936 |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ács Krisztina , Bárány Kristóf , Barát Anna , Deli Tamás , Farkas Zoltán , Fazekas Borbála , Gáspár László , Gönczi Orsolya , Hartmann Miklós , Horváth Gábor , Juhász András , Karádi Richárd , Kispál István , Kiss László , Kőhalmi Dóra , Kónya Ágnes , Krizsán Árpád , Laczó Tibor , Lippner Gábor , Lukács Gyula , Mátyás Péter , Molnár-Sáska Balázs , Nyakas Péter , Nyilas Gábor , Nyul Gábor , Pap Gyula , Papp Ágnes , Papp Beáta Andrea , Papp Eszter , Patakfalvi Zsolt , Sólyom László , Szabados Péter , Szabó Gábor , Szabó Jácint , Szita István , Terpai Tamás , Varga Péter , Végh László , Volf Barna , Zakariás Ildikó , Zámbó Tibor , Zubcsek Péter Pál , Ötvös Gergely |
Füzet: |
1995/április,
206 - 207. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/október: Gy.2936 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a keresett szám . Ha az -edik és -edik jegyek () felcserélésével kapott számot kivonjuk az eredetiből, akkor a különbség | | (1) | Az i-j darab egyesből álló szám a következő lehet: | i=j+11i=j+211i=j+3111=3⋅37i=j+41111=11⋅101i=j+511111=41⋅271 | (2) | Vizsgáljuk meg, hogyan jöhetnek létre a kívánt tulajdonságú különbségek! Tekintsük először a 2168=23⋅271-gyel oszthatót. Az (1) felbontást használjuk. Mivel valódi különbségről van szó és |ai-aj|<10, azért csak i=j+5, azaz i=5, j=0 esetén lehet a különbség osztható 271-gyel. Ekkor viszont 8∣ai-aj, ami a következő esetekben lehetséges (a0≠a5, mert nemnulla különbségeket tekintünk, és a5≠0, mert valódi hatjegyű számot keresünk): | 8a4a3a2a10¯,9a4a3a2a11¯,1a4a3a2a19¯. | Nézzük most a 2525=52⋅101-et: a 101-gyel való oszthatóság csak az 1111-ből származhat, tehát (2) alapján i=j+4. Az i=4, j=0 esetben 25∣ai-aj kellene fennálljon, ami lehetetlen, ezért i=5, j=1 és 5∣a1-a5. A lehetőségek: | 8a4a3a230¯,9a4a3a241¯,1a4a3a269¯. | A 6875=54⋅11 esetben csak j≥3 lehet, hiszen ai-aj 5-nek legfeljebb első hatványával lehet osztható. A 11-gyel való oszthatóság miatt i-j=2 vagy 4, ami a j≥3 feltétellel együtt az i=5, j=3 esethez vezet. Ekkor még 5∣a3-a5 is szükséges, azaz a számok: | 8a43a230¯,9a44a241¯,1a46a269¯. | A 4375=7⋅54-t vizsgálva az előző esethez hasonlóan j≥3 adódik. Mivel 7-tel csak ai-aj lehet osztható, azért a j=3 kizárható: ekkor ugyanis 35∣ai-aj-nek kellene fennállnia. Marad a j=4, i=5 eset, valamint 7∣a4-a5: | 813a230¯,924a241¯,186a269¯. | Tudjuk még azt is, hogy a számnak van 7-es jegye is, ez mindhárom esetben csak az a2 lehet. A 9-cel oszthatóságot a három számból kizárólag a 924741 teljesíti, vagyis ez az egyedüli lehetséges szám. Erről viszont azt is láttuk már, hogy valóban megfelelő.
Pap Gyula (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o.t.) dolgozata alapján |
|
|