Feladat: C.375 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Majlender Péter ,  Nagy Margit ,  Pintér Dömötör ,  Stubnya Gábor 
Füzet: 1995/április, 202 - 203. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Háromszög területe, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1994/november: C.375

Van-e olyan h'aromsz"og, amelynek ter"ulet'et az egyik cs'ucs'ahoz tartoz'o sz"ogharmadol'ok egyenlHo r'eszekre osztj'ak?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a C. 375 gyakorlat a Gy. 2946. speciális esete n=3-ra, csak az általánosabb megoldást közöljük.
Legyen az XAY háromszög A-ból induló szögfelezője AF (1. ábra). Ha pl. XAYA, akkor tükrözzük X-et az AF-re: az AY szakasz egy X' pontját kapjuk. Az AXF, AX'F háromszögek egybevágók, így AF pontosan akkor felezi az XAY háromszög területét, ha X'=Y, azaz a háromszög egyenlő szárú, azaz AF merőleges XY-ra.
Tekintsük ezután az ABC háromszög A-nál fekvő szögének AF1, ..., AFn-1
n-edelőit (2. ábra). Ha ezek n egyenlő részre osztják a háromszög területét, akkor rendre AF1, ..., AFn-1 felezi a BAF2, ..., Fn-2AC háromszög területét. Előbbi észrevételünk szerint ez azt jelenti, hogy az AFi szakaszok mindegyike merőleges a BC oldalra, ami viszont (nem elfajuló háromszögben) lehetetlen. A feladat által kérdezett háromszög tehát semmilyen n>2 esetén nem létezik.

 Stubnya Gábor (Pécs, Janus Pannonius Gimn., I. o.t.) és
 
 Pintér Dömötör (Szombathely, Nagy Lajos Gimn., II. o.t.) megoldásai alapján

 
Megjegyzés. Ha n=2, akkor az egyenlő szárú háromszögek szárszögének felezője két egyenlő területű részre osztja a háromszöget. Nem egyenlő szárú háromszögnél viszont a szögfelező sosem felezi a területet.