Jelölje $\varrho$ a félgömb sugarát: $\varrho =\frac{R\sqrt[]{3}}{2}$. ($\varrho <R$). Az $R$ sugarú gömb felszíne $A_1=4\pi R^2$, a $\varrho$ sugarú félgömbé pedig $2\pi {\varrho }^2=\frac{3}{2}\pi R^2$. Ha a szóban forgó ,,sapkát'' a gömbre helyezzük, az letakar a gömbből egy $m$ magasságú gömbsüveget. (A kapott alakzat szimmetriasíkjával alkotott metszete az ábrán látható.)
Pitagorasz tétele alapján ${\left(R-m\right)}^2+{\varrho }^2=R^2$, ahonnan $m=\frac{R}{2}$. A gömbsüveg felszíne $2\pi Rm$-mel egyenlő. (A képlet megtalálható a Függvénytáblázatokban. Természetesen a $\pi {\varrho }^2$-et el kell hagynunk, mivel a gömbsüveg alapköre ‐ a gömb belsejében lévén ‐ a felszín alakulásában nem játszik szerepet.) A letakart rész felszíne $\pi R^2$, a felszín növekedése ezért $\frac{3}{2}\pi R^2-\pi R^2=\frac{1}{2}\pi R^2$. Ez $A_1$-nek éppen a nyolcad része. Tehát a kapott alakzat felszíne 12,5%-kal nagyobb a gömb felszínénél.