Kezdőlap


Feladat:	C.370	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bakonyi Zoltán , Kovács Helga Zita , Némedi Richárd
Füzet:	1995/április, 201. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/október: C.370

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A logaritmus definícióját felhasználva $x > 0$ és $a > 0$ . Mivel $log_{a} 1 = 0$ , azért $x \neq 1$ , továbbá $a \neq 1$ is igaz. (1)-et a logaritmus definíciója alapján a következőképpen írhatjuk: $a^{x} = x$ . Ebből a feltételt figyelembe véve

\begin{matrix} {(x^{log_{4} x})}^{x} = x, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x^{x \cdot log_{4} x} = x = x^{1} \end{matrix}

adódik. Itt a hatvány alapja

1

-től különböző pozitív szám. A hatványozás monotonitása következtében tehát a két hatvány megegyezéséből a kitevők egyenlősége következik. Eszerint

x \cdot log_{4} x = 1

. Ezt az egyenlőséget

log_{4} x^{x} = 1

alakba írhatjuk, ami a logaritmus definíciója szerint azt jelenti, hogy

x^{x} = 4

.
Mivel

1

-nél kisebb (pozitív) szám pozitív hatványa is 1-nél kisebb, azért

0 < x < 1

esetén

x^{x} < 1

, tehát

x^{x} = 4

lehetetlen. 1-nél nagyobb

x

esetében

x

-et növelve az

x^{x}

függvény alapja is és kitevője is növekszik, ami azt jelenti, hogy maga a függvény is növekszik. Ebből azonnal következik, hogy az

x^{x} = 4

egyenlőségnek legfeljebb egy megoldása lehet. Mivel

2^{2} = 4

, azért

x = 2

megoldás.
Mivel megoldás közben nem néztük meg minden egyes lépésnél, hogy az a lépés megfordítható-e, azért most meg kell nézni, hogy

x = 2

valóban kielégíti-e az eredeti egyenletet:
Ha

x = 2

, akkor

log_{4} 2 = \frac{1}{2}

, azaz

a = 2^{1 / 2} = \sqrt[]{2}

. Azt kell ellenőrizni, hogy

log_{a} x = x

, illetve a vele egyenértékű

a^{x} = x

teljesül-e. Márpedig

a^{x} = {(\sqrt[]{2})}^{2} = 2 = x

, így valóban megoldást kaptunk.