Kezdőlap


Feladat:	N.40	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Braun Gábor , Dombi Gergely , Duzmath Zsolt , Gyarmati Katalin , Izsák Ferenc , Tóth Gábor Zsolt , Valkó Benedek
Füzet:	1995/március, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényegyenletek, Számelméleti függvények, Teljes indukció módszere, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/szeptember: N.40

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $f (n) = n$ függvény nyilván kielégíti a feladat feltételét. Bebizonyítjuk, hogy ez az egyetlen ilyen.
Az $f (n^{2} + m^{2}) = f^{2} (n) + f^{2} (m)$ függvényegyenletbe $n = m = 0$ -t helyettesítve $f (0) = 2 f^{2} (0)$ -t kapunk, aminek az egyetlen egész megoldása az $f (0) = 0$ . Ezek után $n = 0$ , $m = 1$ helyettesítéssel $f (1) = f^{2} (1)$ adódik, így az $f (1) > 0$ feltételt felhasználva csak $f (1) = 1$ lehet. Most rendre behelyettesítve az $(1; 1)$ , $(0; 2)$ , $(1; 2)$ , $(0; 5)$ , $(3; 4)$ , $(1; 3)$ , $(0; 10)$ , $(2; 2)$ , $(6; 8)$ számpárokat és megkeresve az egyes függvényegyenletek nemnegatív egész megoldását, $f (2) = 2$ , $f (4) = 4$ , $f (5) = 5$ , $f (25) = 25$ , $f (3) = 3$ , $f (10) = 10$ , $f (100) = 100$ , $f (8) = 8$ , végül $f (6) = 6$ -ot kapunk. Tehát $0 \leq n \leq 6$ esetén $f (n) = n$ valóban teljesül.
Teljes indukcióval bizonyítunk. Tegyük fel, hogy az $n$ -nél kisebb egész számokra már bebizonyítottuk az állítást. Nyilván elég az $n > 6$ esettel foglalkozni. Két lehetőség van aszerint, hogy az $n$ páros vagy páratlan. Ha páros, akkor $n = 2 k$ alakba írható, ahol $k$ pozitív egész. A ${(2 k)}^{2} + {(k - 5)}^{2} = {(k + 3)}^{2} + {(2 k - 4)}^{2}$ azonosság alapján

\begin{matrix} \begin{matrix} f^{2} (2 k) + f^{2} (| k - 5 |) & = f ({(2 k)}^{2} + {(k - 5)}^{2}) = \\ = f ({(k + 3)}^{2} + {(2 k - 4)}^{2}) & = f^{2} (k + 3) + f^{2} (| 2 k - 4 |), \end{matrix} \end{matrix}

így

\begin{matrix} f^{2} (n) = f^{2} (2 k) = f^{2} (k + 3) + f^{2} (| 2 k - 4 |) - f^{2} (| k - 5 |) . \end{matrix}

Mivel

n > 6

és páros, azért

n \geq 8

, azaz

k \geq 4

. Ekkor

k + 3

| 2 k - 4 |

| k - 5 |

kisebb

2 k

-nál, így az indukciós feltevés alapján

\begin{matrix} f^{2} (n) = {(k + 3)}^{2} + {(2 k - 4)}^{2} - {(k - 5)}^{2} = {(2 k)}^{2} = n^{2}, \end{matrix}

tehát

f (n) = n

.
Hasonló módon, ha

n

páratlan, akkor

n = 2 k + 1

. Itt a

\begin{matrix} {(2 k + 1)}^{2} + {(k - 2)}^{2} = {(k + 2)}^{2} + {(2 k - 1)}^{2} \end{matrix}

azonosságban

| k - 2 |

| k + 2 |

| 2 k - 1 |

kisebb

2 k + 1

-nél, ezért

\begin{matrix} \begin{matrix} f^{2} (n) = f^{2} (2 k + 1) = f^{2} (| k + 2 |) + f^{2} (| 2 k - 1 |) - f^{2} (| k - 2 |) = \\ = {(k + 2)}^{2} + {(2 k - 1)}^{2} - {(k - 2)}^{2} = {(2 k + 1)}^{2} = n^{2}, \end{matrix} \end{matrix}

így

f (n) = n

.
Ezzel az állítást bebizonyítottuk.