|
Feladat: |
N.39 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Braun Gábor , Burcsi Péter , Dombi Gergely , Duzmath Zsolt , Farkas Péter , Gyarmati Katalin , Kiss Márton , Makai Márton , Pap Gyula , Póczos Barnabás , Szádeczky-Kardoss Szabolcs , Tóth Gábor Zsolt , Valkó Benedek |
Füzet: |
1995/március,
164 - 165. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Euler-Fermat-tételek, Maradékos osztás, Euler-féle számelméleti függvény, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/szeptember: N.39 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyenek páratlan prímosztói: ; ha az -hatvány, akkor . Jelölje a legnagyobb olyan egész számot, amelyre A függvény értékét szolgáltató képlet szerint ekkor | | a prímek páratlan volta miatt pedig . Így és itt a bal oldalon álló osztó az egymáshoz páronként relatív prím , , , (páratlan) számok szorzata. Ha , akkor az előbbi darab szám között van olyan, amelyik relatív prím -hez. A továbbiakban tegyük fel, hogy ; ekkor mindegyik 4-gyel osztva 3-at ad maradékul. Tételezzük fel továbbá, hogy, a feladat állításával ellentétben, minden prímosztója a prímek közül kerül ki. Ekkor szükségképpen (), így viszont , hiszen esetén . Ez azt jelenti, hogy az szám alakú. Ha , akkor miatt valódi (és -hez relatív prím) osztója -nek, ellentmondás. Ha , akkor miatt , ellentmondás. Ha pedig , akkor , ugyancsak ellentmondás.
Megjegyzés. Több megoldó is úgy fejezte be a bizonyítást, hogy felhasználta összetettségét (ld. pl. Szalay Mihály: Számelemélet, 65. old.).
II. megoldás. Könnyen látható, hogy elegendő a feladatot páratlan -re megoldani; azért a továbbiakban feltesszük, hogy páratlan. Ha prímhatvány, akkor szerint | | E két tényező nem lehet egyszerre -vel osztható, hiszen a különbségük 2. Feltehető tehát, hogy , ahol és 1-nél nagyobb, egymáshoz relatív prím egészek. Ekkor , és , valamint páros. Így osztható -val és -vel, következésképpen | | Az Euler‐Fermat tétel szerint | | így, mivel , . Tehát, ha tetszőleges prímosztója -nek, akkor nem oszthatja a 2-vel kisebb számot, így -et sem.
Dombi Gergely (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) dolgozata alapján |
|
|