|
Feladat: |
N.37 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Braun Gábor , Burcsi Péter , Gyarmati Katalin , Póczos Barnabás , Tóth Gábor Zsolt , Újváry-Menyhárt Mónika |
Füzet: |
1995/március,
163. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Számhalmazok, Konstruktív megoldási módszer, Periodikus sorozatok, Rekurzív sorozatok, Maradékos osztás, kongruenciák, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1994/szeptember: N.37 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy a feladat kérdésére igenlő a válasz. Ehhez rekurzióval megadunk egy sorozatot, amely megfelel a kívánalmaknak. Kezdjük a sorozatot a 0, 1 számokkal. Tegyük fel, hogy eljutottunk a sorozatnak egy olyan részéig, amelyben szám szerepel, és minden szám előfordul 0-tól -ig, továbbá minden pozitív egészre van olyan és , hogy az -edik és -edik elem egyenlő (mod ). Ilyenkor a sorozat következő eleme egyezzen meg az első -val (ismételjük meg). Majd legyen esetén | | így -ra szintén teljesül:
* | ‐szerepel minden -nél nem nagyobb szám. |
* | ‐minden -hez létezik , , hogy minden -re. | (Egy számhoz valamelyik lépésben adódó periódus ‐ ugyanehhez az -hez ‐ a későbbiekben is megfelelő lesz.) A konstrukciót folytatva előbb-utóbb eljutunk minden természetes számhoz. Azt, hogy minden szám végtelen sokszor fordul elő, az garantálja, hogy minden lépésben ,,megduplázzuk a sorozatot'', így ha egy szám szerepel legalább egyszer (de minden szám ilyen), akkor tetszőleges -ra szerepelni fog -szor is ( egész), tehát végtelen sokszor. Tehát konstruált sorozatunk a kívánt tulajdonságú.
Burcsi Péter (Pápa, Türr I. Gimn., III. o.t.) |
|
|