A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük ‐ az egyszerűség kedvéért ‐ az -k szorzatát -vel. Az (1) bal oldalán álló tényezőket a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség segítségével becsüljük alulról a következő módon: | | Ha ezt minden -re elvégezzük, és a kapott becsléseket összeszorozzuk, éppen a bizonyítandó állítást kapjuk: | |
Csörnyei Marianna (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.) |
II. megoldás. Tegyük fel, hogy az állítás hamis. Legyen egy olyan szám -es, amelyre | | (2) | ugyanakkor az -k között maximális számú szerepel. Nyilván nem lehet mindegyikük , mert akkor egyenlőség állna fenn. (Ebből az is következik, hogy .) Az -k átlaga , ezért van köztük -nél nagyobb és kisebb is. Mivel (2) szimmetrikus az -kre, feltehetjük, hogy és . Tekintsük most a , , , , szám -est, vagyis változtassuk meg -et és -t úgy, hogy egyik helyett -et írunk, a másik helyett pedig úgy választunk új értéket, hogy a számok összege ne változzék. Ezek a számok pozitívak ( miatt ), az összegük továbbra is 1, viszont az többször szerepel közöttük, mint az -k között. Az -k extremális választása alapján tehát | | (3) |
Most bebizonyítjuk, hogy | | (4) |
Ez ‐ mivel a (2) és (3) bal oldalán álló tényezők pozitívak ‐, ellentmondás. Először megállapítjuk, hogy , ugyanis ez és definícióját behelyettesítve a következő alakba írható: | | itt pedig az első tényező pozitív, a második negatív. Ha az egyenlőtlenséget megszorozzuk -vel (ez nemnegatív, mert ; mivel 0 is lehet, meg kell engednünk az egyenlőséget is), továbbá hozzáadunk -t: | |
Ha most osztunk -vel, a következőt kapjuk: | | (5) | Ezután ‐ az előbbiekhez hasonlóan ‐ az egyenlőtlenséget szorozzuk meg -vel, adjunk hozzá -t, majd osszunk le ugyanennyivel: | | Ha ezt (5)-tel megszorozzuk (az (5) mindkét oldala pozitív, hiszen , , , ), éppen (4)-et kapjuk.
Braun Gábor (Budapest, Szent István Gimn., I. o.t.) |
Megjegyzés. A függvény a intervallumban konvex. Ha mindegyik ebben az intervallumban helyezkedik el, akkor a Jensen-egyenlőtlenség szerint | | ami pontosan a bizonyítandó állítás. Ennek a gondolatnak kis módosításával a feladatot vissza lehet vezetni arra az esetre, amikor az -k között legalább egyenlő van, és ezek a intervallumban helyezkednek el. (Mivel , és az -k összege 1, legfeljebb csak az egyik lehet -nál nagyobb.) Erre az egyre más módszert lehet alkalmazni.
|
|