Feladat:	F.3029	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Farkas Péter ,  Lovász Zoltán ,  Makai Márton ,  Pásztor József ,  Valkó Benedek ,  Véber Miklós
Füzet:	1995/március, 152 - 154. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1994/október: F.3029

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Az egyes egyenletek akkor értelmesek, ha $x$, $y$ és $z$ pozitívak, $x\ne \frac{1}{2}$, $y\ne \frac{1}{5}$ és $xy\ne 1$. Ezen kikötések mellett (1) ekvivalens a következő egyenletrendszerrel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{c}\hfill z={\left(2x\right)}^3;\hfill \\ \hfill z={\left(5y\right)}^6;\hfill \\ \hfill z={\left(xy\right)}^{\frac{2}{3}}\mathrm{.}\hfill \end{array}}\end{array}$ (2) Az első egyenletet behelyettesítve a másodikba: ${\left(2x\right)}^3={\left(5y\right)}^6$, amiből köbgyökvonás után $x=5^2\cdot 2^{-1}\cdot y^2$. Ezt és (2) második egyenletét helyettesítsük be a harmadik egyenletbe: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\left(5y\right)}^6={\left(5^2\cdot 2^{-1}\cdot y^2\cdot y\right)}^{\frac{2}{3}}}\\ \hfill {\displaystyle 5^6\cdot y^6=5^{\frac{4}{3}}\cdot 2^{-\frac{2}{3}}\cdot y^2}\\ \hfill {\displaystyle y=5^{-\frac{7}{6}}\cdot 2^{-\frac{1}{6}}=\frac{1}{5\sqrt[6]{10}}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ A felhasznált összefüggések alapján pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle z={\left(5y\right)}^6=\frac{1}{10}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle x=5^2\cdot 2^{-1}\cdot y^2=5^{-\frac{1}{3}}\cdot 2^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{2\sqrt[3]{10}}\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ A kapott értékek teljesítik az egyenletrendszert, mert $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(2x\right)}^3={\left(\frac{1}{\sqrt[3]{10}}\right)}^3=\frac{1}{10}=z\mathrm{,}{\left(5y\right)}^6={\left(\frac{1}{\sqrt[6]{10}}\right)}^6=\frac{1}{10}=z\mathrm{,}}\end{array}$ végül $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(xy\right)}^{\frac{2}{3}}={\left(5^{-\frac{1}{3}-\frac{7}{6}}\cdot 2^{-\frac{4}{3}-\frac{1}{6}}\right)}^{\frac{2}{3}}=5^{-1}\cdot 2^{-1}=z\mathrm{.}}\end{array}$ A megoldás tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{1}{2\sqrt[3]{10}}\mathrm{,}y=\frac{1}{5\sqrt[6]{10}}\mathrm{,}z=\frac{1}{10}\mathrm{.}}\end{array}$  Pásztor József (Eger, Szilágyi Erzsébet Gimn., III. o.t.)   II. megoldás. Mivel egyik logaritmus értéke sem 0, $z$ nem lehet 1. Vegyük mindhárom egyenlet reciprokát! Az $\frac{1}{\text{log}{}_{a}b}=\text{log}{}_{b}a$ azonosság alapján az új egyenletrendszer: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{log}{}_{z}2x}& {\displaystyle =\frac{1}{3};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{log}{}_{z}5y}& {\displaystyle =\frac{1}{6};}\hfill & \hfill {\displaystyle \left(3\right)}\\ \hfill {\displaystyle \text{log}{}_{z}xy}& {\displaystyle =\frac{3}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Az első két egyenlet összegéből vonjuk ki a harmadikat: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{z}2x+\text{log}{}_{z}5y-\text{log}{}_{z}xy=-1.}\end{array}$ A logaritmusfüggvény azonosságai alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_z\frac{2x\cdot 5y}{xy}=\text{log}{}_{z}10=-1.}\end{array}$ Ez azt jelenti, hogy $10=z^{-1}$, azaz $z=\frac{1}{10}$. Ezután $x$ és $y$ értékét az első és második egyenletből kiszámíthatjuk: $\text{log}{}_{1/10}2x=\frac{1}{3}$,  ebből $2x=\frac{1}{\sqrt[3]{1}0}$  és $x=\frac{1}{2\sqrt[3]{1}0}$; $\text{log}{}_{1/10}5y=\frac{1}{6}$,  ebből $5y=\frac{1}{\sqrt[6]{1}0}$  és $y=\frac{1}{5\sqrt[6]{1}0}$. A kapott értékeket az I. megoldáshoz hasonlóan behelyettesítjük.  Valkó Benedek (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., IV. o.t.)